【BZOJ 1006】 [HNOI2008]神奇的国度

1006: [HNOI2008]神奇的国度

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Description

K国是一个热衷三角形的国度,连人的交往也只喜欢三角原则.他们认为三角关系:即AB相互认识,BC相互认识,CA相互认识,是简洁高效的.为了巩固三角关系,K国禁止四边关系,五边关系等等的存在.所谓N边关系,是指N个人 A1A2...An之间仅存在N对认识关系:(A1A2)(A2A3)...(AnA1),而没有其它认识关系.比如四边关系指ABCD四个人 AB,BC,CD,DA相互认识,而AC,BD不认识.全民比赛时,为了防止做弊，规定任意一对相互认识的人不得在一队，国王相知道，最少可以分多少支队。

Input

第一行两个整数N，M。1<=N<=10000,1<=M<=1000000.表示有N个人，M对认识关系. 接下来M行每行输入一对朋友

Output

输出一个整数，最少可以分多少队

Sample Input

4 5
1 2
1 4
2 4
2 3
3 4

Sample Output

3

HINT

一种方案(1,3)(2)(4)

弦图求最小染色。

首先介绍一些概念：

1.弦

连接两个不相邻点的边

2.弦图

一个无向图称为弦图当且仅当图中任意长度大于3的环都至少有一条弦

3.诱导子图

从无向图中取出一些点，以及那些边的两端点都属于取出的这些点的边，所构成的图

即

4.单纯点

设N(v)是与v相邻的点集，如果{v}+N(v)的诱导子图是一个团那么v是单纯点

5.完美消除序列

一个序列{v[i]}，满足对于任意的i，使得v[i]在{v[i..n]}的诱导子图中为单纯点

对于这道题用MCS方法求出完美消除序列，再倒着贪心染色即可。

MCS最大势算法：

1.从n到1的顺序依次给点标号（标号为i的在完美消除序列中是第i个）

2.设label[i]表示第i个点与多少个已知标号的点相邻，每次选择label[i]最大的点【对于这一步使用链表来记录】进行标号。

详见 《弦图与区间图》

为什么倒着按照完美消除序列求出的染色一定是最小染色呢？

因为按照这样的顺序，相当于求出了最大团（最大团一定的v+N(v)形式），即最小染色=最大团；

而染色数一定不能比最大团小，因为一个团中的颜色一定互不相同。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
struct edge
{
	int y,ne;
}e[2000050],e2[2000050];
int label[10005];
int tot2=0,seq[10005],tot=0,n,m,best=0,v[10005],mark[10005],h2[10005],h[10005],c[10005],ans;
void Addedge(int x,int y)
{
	tot++;
	e[tot].y=y;
	e[tot].ne=h[x];
	h[x]=tot;
}
void Add(int x,int y)
{
	tot2++;
	e2[tot2].y=y;
	e2[tot2].ne=h2[x];
	h2[x]=tot2;
}
void MCS()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
		Add(0,i);
	for (int j=n;j;j--)
	{
		while (1)
		{
			int x=0;
			for (int i=h2[best];i;i=e2[i].ne)
			{
				if (!v[e2[i].y]) 
				{
					x=e2[i].y;
					break;
				}
				else h2[best]=e2[i].ne;
			}
			if (x)
			{
				v[x]=1;
				seq[j]=x;
				for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
					if (!v[e[i].y])
					{
						int y=e[i].y;
						label[y]++;
						Add(label[y],y);
						best=max(best,label[y]);
					}
				break;
			}
			else best--;
		}
	}
}
int main()
{
	ans=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		v[i]=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		Addedge(x,y);
		Addedge(y,x);
	}
	MCS();
	for (int j=n;j;j--)
	{
		int x=seq[j];
		for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
			mark[c[e[i].y]]=j;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (mark[i]!=j) 
			{
				c[x]=i;
				ans=max(i,ans);
				break;
			}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

感悟：

1.据说最小染色是NP问题，为什么不能直接dfs染色来做呢？？？十分困惑。。求解答。。