状压dp

状态压缩动态规划

    动态规划的状态有时候比较难，不容易表示出来，需要用一些编码技术，把状态压缩的用简单的方式表示出来。典型方式：当需要表示一个集合有哪些元素时，往往利用2进制用一个整数表示。

    *：一般有个数据 n<16 或者 n<32 这个很可能就是状态DP的标志，因为我们要用一个int的二进制来表示这些状态。要注意好这些数据规模的提示作用。

    *：确定了为状态DP，那么第一步就是预处理，求出每行所有可能的状态了，cnt记录总的状态数，stk[]记录所有的可能状态。以炮兵阵地为例：

       int cnt, stk[MAX];

 

       void findStk(int n){     //  求出所有可能的状态。

           for(int i = 0; i < (1<<n); i ++)
              if(ok(i)){                       //  判断这种状态可不可行。
                  stk[cnt] = i;
                  sum[cnt ++] = getSum(i);     //  计算这种状态包含了几个炮兵。
              }
       }

 

       bool ok(int x){          //  判断状态x是否符合，即是否会出现两个大炮间隔小于2。
           if(x & (x<<1)) return false;
           if(x & (x<<2)) return false;
           return true;
       }

 

       int getSum(int x){       //  求出状态x中安装了多少门大炮，x的二进制有几个1。
           int num = 0;
           while(x > 0){
               if(x & 1) num ++;
               x >>= 1;
           }
           return num;
        }

    *：然后就是DP部分了，明确好状态转移方程。先特殊处理第1行，然后按状态转移方程求出剩下的值。

http://poj.org/problem?id=3254

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int mod=100000000;
const int maxn=12;
int dp[maxn+1][(1<<maxn)+1];
int num[maxn+1];
int n,m;
bool check(int i,int x)//检查第i行出现状态x是否合法
{
  if((x&num[i])!=x)//很巧妙,判断第i行出现的状态x是否合法，为什么这么写，因为0的地方不能放牛，
  //合法状态与原始状态0位且为0，原始状态1位的地方与合法状态对应位且都等于合法状态位上的数字
    return 0;
  if(x&(x>>1)||x&(x<<1))//不能有相邻的两个1
    return 0;
  return 1;
}

int main()
{
  cin>>n>>m;
  int x;
  memset(num,0,sizeof(num));
  memset(dp,0,sizeof(dp));
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
  {
    cin>>x;
    if(x)
      num[i]=num[i]|(1<<(j-1));//把每一行的状态保存到num[i]中去
  }
  int Max=(1<<m);
  dp[0][0]=1;//注意这一句啊！
  for(int i=1;i<=n;i++)//枚举每一行
  {
    for(int j=0;j<Max;j++)
    {
      if(!check(i,j))
        continue;
      for(int k=0;k<Max;k++)
        if((j&k)==0)
      {
        dp[i][j]+=dp[i-1][k];
        if(dp[i][j]>=mod)
          dp[i][j]%=mod;
      }
    }
  }
  int ans=0;
  for(int i=0;i<Max;i++)
  {
    ans+=dp[n][i];
    if(ans>=mod)
      ans%=mod;
  }
  cout<<ans;
  return 0;
}

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3001

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4568

POJ 3311

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2093

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
const int maxn = 1 << 16;
int T, n, m, dp[maxn], f[maxn], x, y;
queue<int> p;

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for (int i = 0; i < n; i++) f[i] = 0;
		for (int i = 1; i < (1 << n); i++) dp[i] = INF;
		while (m--)
		{
			scanf("%d%d", &x, &y);
			f[x - 1] |= 1 << (y - 1);
			f[y - 1] |= 1 << (x - 1);
		}
		//for(int i=0;i<n;i++) cout<<f[i]<<" ";cout<<endl;
		for (int i = 0; i < n; i++) if (!f[i]) f[i] = 1 << i;
		while (!p.empty()) p.pop();	p.push(0);
		while (!p.empty())
		{
			int q = p.front();	p.pop();
			int now = 0;
			for (int i = 0; i < n; i++) if ((q&f[i]) == f[i]) now |= 1 << i;
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				for (int j = i + 1; j < n; j++)
				{
					if (dp[now | (1 << i) | (1 << j)] > dp[q] + 1)
					{
						dp[now | (1 << i) | (1 << j)] = dp[q] + 1;
						p.push(now | (1 << i) | (1 << j));
					}
				}
			}
		}
		int k = (1 << n) - 1, ans = dp[k];

		//for(int i=0;i<n;i++) cout<<(k ^ (1 << i))<<dp[k ^ (1 << i)]<<" ";cout<<endl;

		for (int i = 0; i < n; i++) ans = min(ans, dp[k ^ (1 << i)]);
		if (ans == INF) printf("-1\n"); else printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}