傅里叶变换与小波变换基础（1）

傅里叶变换实现了信号的时域到频域的变换，然而由于傅里叶变换不具备空间位置信息，因此得到的是一个全局的频率谱，而并没有针对特定位置的频率进行分析。为了解决这一问题，因此提出了加窗傅里叶变换。加窗傅里叶变换将非平稳信号看着是一系列短时平稳的信号的叠加，而短时性则可以通过时域加窗来实现，加窗傅里叶变换公式如下：

其中g(x)为一个窗口函数。从上面的定义可以看出，窗口函数应该是一个低通滤波器才能平稳信号进行分离。然而，当频率固定时，由于不能确定非平稳信号的组成成分中包含的信号频率怎样分布，因此，加窗傅里叶变换不能很好地对信号进行分离。不过加窗傅里叶变换对小波的引出起了辅助作用。

上式是加窗傅里叶变换的一个性质。从上面的公式可以看出，加窗傅里叶变换不应该改变原来信号的总能量，也就是能够对信号进行分析和相应的重构。

下面先给出小波变换的一个重要的思想——多分辨分析的严格定义形式：

如果L2空间下的闭子空间序列满足下列条件，则称该闭子空间为多分辨分析：

1 单调性：

2 逼近性：

3 伸缩性：

4 平移不变性：

5 Riesz基存在性：存在函数wav属于V0，使得{wav（t-k）}构成v0的一个Riesz基。也就是说函数序列{wav（t-k）k是一个整数}线性无关的，且存在常数A和B，使得0<A<=B，且B不能使一个无穷，使得对于任意函数f（t）属于v0，总存在序列{ck}属于l2使得：。则称函数wav为V0下的尺度函数，而函数wav则可以生成一个多分辨分析序列{VJ，J=0、1、2………………}。

上面的定理可以理解如下：假设存在一个数据为12.345，则这个数据可以分解为1*10+2*1+3*0.1+4*0.01+5*0.001，同样可以表示为12345*0.001，反过来不能等于12345*1，这就是第一条所说的单调性；逼近性则表示可以满足所有精度达到0.001的所有的数，并且每一个权重并不相交；则伸缩性和平移不变性很好理解，至于基存在则是为了保证整个多分辨分析不会改变原有信号的能量。

由上面的伸缩性可以知道，在VJ和V(J+1)之间存在一定的比列关系，现在先给出这个比列关系如下：

上面是两个不同的尺度在空间域的形式。

上面是两个不同尺度在频率域上的形式。假设hk是信号在相应滤波器下的相应系数，则整个公式将多分辨分析和滤波器关联起来了。

上图是haar小波的基函数，通过haar小波的基函数可以对上面的定理进行一个验证。至于为什么需要上面的几个条件会在以后进一步的分析得到。