康托定理
康托定理：
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! ，其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。这就是康托展开。
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个小的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那 排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个小数。
附上代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int jiecheng[10];
int gcd(int a, int b)
{
return (b == 0 ? a : (gcd(b, a%b)));
}
void jc(int a)
{
jiecheng[0] = 1;
for (int i = 1; i <= a; ++i)
jiecheng[i] = i*jiecheng[i - 1];
}
int main()
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
vector<int>vec;
int num;
cin >> num; //输入数字的个数
jc(num - 1);
int val;
for (int i = 1; i <= num; ++i)
{
cin >> val; //输入每个数据
vec.push_back(val);
}
int cixu = 0;
vector<int>arr(vec);
sort(arr.begin(), arr.end());
int op = 0;
while (!arr.empty()&&op<vec.size())
{
int l = 0, r = num;
while (l < r)
{
int mid = (l + r) >> 1;
if (arr[mid]>vec[op])
r = mid - 1;
else
if (arr[mid] < vec[0])
l = mid + 1;
else
{
arr.erase(arr.begin() + mid);
l = mid;
break;
}
}
op++;
cixu += jiecheng[--num] * l;
}
cout << cixu+1 << endl; //输出该数所在的序列
system("pause");
}
逆定理：
把一个大数拆成许多个位数，然后将这些个位数重新组合，使其形成一个新的数字，将这些数按从小到大排列，求第多少个数是多少？
例1 {1,2,3,4,5}的 全排列，并且已经从小到大排序完毕
(1)找出第96个数
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）
用5去除2!得到2余1
有2个数比它小的数是3，第三位是3
用1去除1!得到1余0
有1个数比它小的数是2，第二位是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321
(2)找出第16个数
首先用16-1得到15
用15去除4!得到0余15
用15去除3!得到2余3
用3去除2!得到1余1
用1去除1!得到1余0
有0个数比它小的数是1
有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）
有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）
有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）
最后一个数只能是2
所以这个数是14352
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int jiecheng[10];
int gcd(int a, int b)
{
return (b == 0 ? a : (gcd(b, a%b)));
}
void jc(int a)
{
jiecheng[0] = 1;
for (int i = 1; i <= a; ++i)
jiecheng[i] = i*jiecheng[i - 1];
}
int main()
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
vector<int>vec;
int num;
cin >> num; //输入数字的个数
jc(num - 1);
int val;
for (int i = 1; i <= num; ++i)
{
cin >> val; //输入每个数据的结果
vec.push_back(val);
}
int cixu;
cin >> cixu; //输入要求次序
cixu--;
int yushu = inf;
while (yushu)
{
--num;
yushu = cixu-cixu/jiecheng[num]*jiecheng[num];
cout << vec[cixu / jiecheng[num]] ;
vec.erase(vec.begin() + cixu / jiecheng[num]);
cixu = yushu;
}
while (!vec.empty())
{
cout << vec[0] ;
vec.erase(vec.begin());
}
//system("pause");
}