【BNU】39676 Point Distance【FFT求矩阵中点对的欧几里德距离】

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题目分析：

纠结了好久，终于搞定了……

首先我们定义：
Dx,y=∑n−1i=0∑n−1j=0Ci,jCi+x,j+y

Dx,y 表示两个点对之间行距为x，列距为y的对数。

然后我们将点映射到一维，得到表达式：
Dxn+y=∑n−1i=0∑n−1j=0Cin+jC(i+x)n+j+y
⇒   Dxn+y=∑n−1i=0∑n−1j=0Cin+jCin+j+(xn+y)
⇒   DA=∑n−1i=0∑n−1j=0CBCB+A

转化成多项式表达则为：

DA=∑n−1i=0∑n−1j=0CBx−B⋅CB+AxB+A

这样我们就可以用 FFT 优化了。

然而我们直接这么做得到的一个 DA 可能有多个值。原因是，出现了跳行的数据，避免的方法就是每一行元素个数翻倍，使得前一半或者后一半的元素为空，剩下的保持不变，这样 FFT 过程中的非法值就不会有了。（具体自行体会哈~）

上面的方法处理完以后，每个 DA 就对应一个确定的pair对：（0，0），（x，y）。然后这个（x，y）可能是非法的，需要注意一下。

一天就只做了这么一道水题，没救了，还有好多都不会做T T……

my  code:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std ;

typedef long long LL ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )
#define cpy( a , x ) memcpy ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 1030 ;
const int MAXM = 1030 * 1030 * 4 ;
const double pi = acos ( -1.0 ) ;

struct Complex {
    double r , i ;
    Complex () {}
    Complex ( double r , double i ) : r ( r ) , i ( i ) {}
    Complex operator + ( const Complex& t ) const {
        return Complex ( r + t.r , i + t.i ) ;
    }
    Complex operator - ( const Complex& t ) const {
        return Complex ( r - t.r , i - t.i ) ;
    }
    Complex operator * ( const Complex& t ) const {
        return Complex ( r * t.r - i * t.i , r * t.i + i * t.r ) ;
    }
} ;

int n , m ;
Complex x1[MAXM] , x2[MAXM] ;
LL num[MAXM] ;
LL ans[MAXM] ;


void FFT ( Complex y[] , int n , int rev ) {
    for ( int i = 1 , j , k , t ; i < n ; ++ i ) {
        for ( j = 0 , k = n >> 1 , t = i ; k ; k >>= 1 , t >>= 1 ) {
            j = j << 1 | t & 1 ;
        }
        if ( i < j ) swap ( y[i] , y[j] ) ;
    }
    for ( int s = 2 , ds = 1 ; s <= n ; ds = s , s <<= 1 ) {
        Complex wn ( cos ( rev * 2 * pi / s ) , sin ( rev * 2 * pi / s ) ) ;
        for ( int k = 0 ; k < n ; k += s ) {
            Complex w ( 1 , 0 ) , t ;
            for ( int i = k ; i < k + ds ; ++ i , w = w * wn ) {
                y[i + ds] = y[i] - ( t = w * y[i + ds] ) ;
                y[i] = y[i] + t ;
            }
        }
    }
    if ( rev < 0 ) {
        for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
            y[i].r /= n ;
        }
    }
}

int dist ( int x , int y ) {
    return x * x + y * y ;
}

void solve () {
    LL tot = 0 ;
    double ave = 0 ;
    int x , n1 = 1 ;
    clr ( num , 0 ) ;
    clr ( ans , 0 ) ;
    m = 2 * n * n ;
    while ( n1 < 2 * m ) n1 <<= 1 ;
    for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
        for ( int j = 0 ; j < n ; ++ j ) {
            scanf ( "%d" , &x ) ;
            num[i * 2 * n + j] = x ;
            tot += x ;
            ans[0] += x * ( x - 1 ) / 2 ;
        }
    }
    /*for ( int i = 0 ; i < m ; ++ i ) { printf ( "%d " , num[i] ) ; } printf ( "\n" ) ;*/
    for ( int i = 0 ; i < m ; ++ i ) {
        x1[i] = Complex ( num[i] , 0 ) ;
        x2[i] = Complex ( num[m - i - 1] , 0 ) ;
    }
    for ( int i = m ; i < n1 ; ++ i ) {
        x1[i] = x2[i] = Complex ( 0 , 0 ) ;
    }
    FFT ( x1 , n1 , 1 ) ;
    FFT ( x2 , n1 , 1 ) ;
    for ( int i = 0 ; i < n1 ; ++ i ) {
        x1[i] = x1[i] * x2[i] ;
    }
    FFT ( x1 , n1 , -1 ) ;
    /*for ( int i = 0 ; i < n1 ; ++ i ) { printf ( "%d " , ( int ) ( x1[i].r + 0.5 ) ) ; } printf ( "\n" ) ;*/
    for ( int i = m ; i < n1 ; ++ i ) {
        num[i] = ( int ) ( x1[i].r + 0.5 ) ;
        int x1 = 0 , y1 = 0 ;
        int x2 = ( i - m + 1 ) / ( 2 * n ) ;
        int y2 = ( i - m + 1 ) % ( 2 * n ) ;
        if ( y2 >= n ) {
            int tmp = n * 2 - y2 ;
            y1 += tmp ;
            x2 ++ ;
            y2 = 0 ;
        }
        int dis = dist ( x1 - x2 , y1 - y2 ) ;
        ans[dis] += num[i] ;
        ave += sqrt ( 1.0 * dis ) * num[i] ;
    }
    tot = tot * ( tot - 1 ) / 2 ;
    printf ( "%.10f\n" , ave / tot ) ;
    int cnt = 0 ;
    for ( int i = 0 ; i < MAXM ; ++ i ) if ( ans[i] ) {
        printf ( "%d %lld\n" , i , ans[i] ) ;
        ++ cnt ;
        if ( cnt >= 10000 ) break ;
    }
}

int main () {
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) solve () ;
    return 0 ;
}