关系模式及其范式
关系的描述称为关系模式（Relation Schema）。一个关系模式应当是一个五元组。它可以形式化地表示为：R(U, D, DOM, F)。其中R为关系名，U为组成该关系的属性名集合，D为属性组U中属性所来自的域，DOM为属性向域的映象集合，F为属性间数据的依赖关系集合。
关系模式通常可以简记为:R(A1, A2, …, An)。其中R为关系名，A1, A2, …, An为属性名。而域名及属性向域的映象常常直接说明为属性的类型、长度。
关系实际上就是关系模式在某一时刻的状态或内容。也就是说，关系模式是型，关系是它的值。关系模式是静态的、稳定的，而关系是动态的、随时间不断变化的，因为关系操作在不断地更新着数据库中的数据。但在实际当中，常常把关系模式和关系统称为关系，读者可以从上下文中加以区别。
关系模式的范式
主要有4种范式，1NF，2NF，3NF，BCNF，按从左至右的顺序一种比一种要求更严格。要符合某一种范式必须也满足它前边的所有范式。一般项目的数据库设计达到3NF就可以了，而且可根据具体情况适当增加冗余，不必教条地遵守所谓规范。
简单而言，1NF就是要求一张表里只放相互关联的字段，一个字段里只放一条信息，这只是最基本的要求。至于2NF，3NF，BCNF虽然描述的内容不同，但表现在数据特点上很相似，就好比在说不要为了向某厂订购一批货记下来，就把的厂的面积、电话等都放在同一张表里，而应该用两张表，以尽量避免浪费数据存储空间。因为和同一个厂可能会交易好几次，但没必要每次交易都记录全部的信息。
从范式所允许的函数依赖方面进行比较，四种范式之间的关联如下图所示。
以下对每种范式作一一说明。
2.3.4.2 第一范式
在关系模式R中的每一个具体关系r中，如果每个属性值 都是不可再分的最小数据单位，则称R是第一范式的关系。
例：如职工号，姓名，电话号码组成一个表（一个人可能有一个办公室电话 和一个家里电话号码） 规范成为1NF有三种方法：
一是重复存储职工号和姓名。这样，关键字只能是电话号码。
二是职工号为关键字，电话号码分为单位电话和住宅电话两个属性
三是职工号为关键字，但强制每条记录只能有一个电话号码。
以上三个方法，第一种方法最不可取，按实际情况选取后两种情况。
2.3.4.3 第二范式
关系的第二范式(2NF)定义： 如果关系模式R为1NF，并且R中的每一个非主属性都完全依赖于R的某个候选关键字，则称R是第二范式的，简记为2NF。
【例2.40】 设有关系模式R(学号S#,课程号C#,成绩G,任课教师TN,教师专长TS)，基于R的函数依赖集F={(S#,C#)→G,C#→TN,TN→TS},判断R是否为2NF。
解：
(1) 容易看出，关系模式R是1NF。因为R符合关系的定义，R的所有属性值都是不可再分的原子值。
R是否为2NF，应根据2NF的定义来判断。
首先要确定关系模式R中各属性间的函数依赖情况。如果没有直接给出R的函数依赖集，就要按照语义把它确定下来。在本例中，已直接给出基于R的函数依赖集F，我们可使用阿氏推理规则并结合下面介绍的方法，进一步确定R中哪些是主属性、哪些是非主属性、侯选关键字由哪些属性构成。
方法① 写出函数依赖集F中的各个函数依赖以帮助分析。方法①的特点是直接。
F={(S#,C#)→G，
C#→TN，
TN→TS
}
方法② 用有向图表示属性间函数依赖，结点表示属性，方框包含若干个结点表示属性组合，有向箭头表示函数依赖。本例的函数依赖图如图2.9所示。方法②的特点是直观。
图2.9 函数依赖图例子
方法③ 把关系模式R与函数依赖集F结合起来，属性组合用下划线(或上划线)表示，函数依赖用有向箭头表示。本例的函数依赖简图如图2.10所示。方法③的特点是简单。
图2.10函数依赖简图例子
用阿氏推理规则由F可推出：(S#,C#)→{S#,C#,G,TN,TS}，即属性组合(S#,C#)是R的候选关键字(R只有这一个候选键)。(S#,C#)的一个值可惟一标识R中的一个元组(并且没有多余的属性)。
在R中，S#,C#是主属性；其余的属性G,TN,TS为非主属性。
借助上面的图，我们可以看到，非主属性G对键是完全依赖：(S#,C#)→G。但非主属性TN,TS对键是部分依赖(他们仅依赖于键的真子集C#)。由于R中存在非主属性对候选键的部分依赖，所以关系模式R不是2NF。
R中存在非主属性对候选键的部分依赖，将会引起数据冗余、数据操作异常等问题。可以把关系R无损联接地分解成两个2NF的关系模式：
ρ={R1,R2}，R1={S#.C#,G},R2={C#,TN,TS}。
【例2.41】选课关系 SCI（SNO，CNO，GRADE，CREDIT）其中SNO为学号， CNO为课程号，GRADEGE 为成绩，CREDIT 为学分。
由以上条件，关键字为组合关键字（SNO，CNO）
在应用中使用以上关系模式有以下问题：
a.数据冗余，假设同一门课由40个学生选修，学分就 重复40次。
b.更新异常，若调整了某课程的学分，相应的元组CREDIT值都要更新，有可能会出现同一门课学分不同。
c.插入异常，如计划开新课，由于没人选修，没有学号关键字，只能等有人选修才能把课程和学分存入。
d.删除异常，若学生已经结业，从当前数据库删除选修记录,就会可能连课程号及学分完全从数据库中删除，则此门课程及学分记录无法保存。
原因：非关键字属性CREDIT仅函数依赖于CNO，也就是CREDIT部分依赖组合关键字（SNO，CNO）而不是完全依赖。
解决方法：分成两个关系模式 SC1（SNO，CNO，GRADE），C2（CNO，CREDIT）。新关系包括两个关系模式，它们之间通过SC1中的外关键字CNO相联系，需要时再进行自然联接，恢复了原来的关系
2.3.4.4 第三范式
关系的第三范式(3NF)定义： 如果关系模式R为2NF，并且R中的每一个非主属性都不传递依赖于R的某个候选关键字，则称R是第三范式的，简记为3NF。
【例2.42】续上例2.40（R(学号S#,课程号C#,成绩G,任课教师TN,教师专长TS)），判断关系模式R1={S#.C#,G},R2={C#,TN,TS} 是否为3NF。
解：
(1) 在关系模式R1={S#,C#,G}，候选关键字是(S#,C#)，主属性是S#,C#，非主属性是G，函数依赖为(S#,C#)→G。 由于R1中不存在非主属性对候选关键字的传递依赖，所以关系模式R1是3NF。
(2) 在关系模式R2={C#,TN,TS}，候选关键字是C#，主属性是C#，非主属性是TN,TS，函数依赖为C#→TN，TN→TS。由于R2中存在非主属性对候选关键字的传递依赖C# TS，所以关系模式R2不是3NF。
可以把关系R2无损联接地分解成两个3NF的关系模式：
ρ={R3,R4}，R3={C#,TN},R4={TN,TS}。
【例2.43】如（SNO，SNAME，DNO，DNAME，LOCATION） 各属性分别代表学号，
姓名，所在系，系名称，系地址。 判断关系模式S1是否为3NF。
关键字SNO决定各个属性。由于是单个关键字，没有部分依赖的问题，是2NF。
但这关系有大量的冗余，有关学生所在的几个属性DNO，DNAME，LOCATION将重复存储，插入，删除和修改时也将产生类似以上例的情况。
原因：关系中存在传递依赖造成的。关键字 SNO 对 LOCATION 函数决定是通过传递依赖:SNO -> DNO，及DNO -> LOCATION实现的。也就是说，SNO不直接决定非主属性LOCATION，不是3NF。
解决目地：每个关系模式中不能留有传递依赖。
解决方法：分为两个关系 S（SNO，SNAME，DNO），D（DNO，DNAME，LOCATION）
注意：关系S中不能没有外关键字DNO。否则两个关系之间失去联系。
2.3.4.5 Boyce-Codd范式
关系的Boyce-Codd范式(BCNF)定义： 如果关系模式R为1NF，并且R中的每一个函数依赖X→Y(YÏX),必有X是R的超关键字，则称R是Boyce-Codd范式的，简记为BCNF。
从BCNF的定义中，可以明显地得出如下结论：
(1) 所有非主属性对键是完全函数依赖；
(2) 所有主属性对不包含它的键是完全函数依赖；
(3)没有属性完全函数依赖于非键的任何属性组合。
与2NF,3NF的定义不同，BCNF的定义直接建立在1NF的基础上。但实质上BCNF是3NF的改进形式。3NF仅考虑了非主属性对键的依赖情况，BCNF把主属性对键的依赖情况也包括进去。BCNF要求满足的条件比3NF所要求的更高。如果关系模式R是BCNF的，那么R必定是3NF，反之，则不一定成立。
【例2.43】 续前例2.42（学号S#,课程号C#,成绩G,任课教师TN,教师专长TS）,判断两个3NF关系模式R3={C#,TN},R4={TN,TS}是否为BCNF。
解：在关系模式R3中有函数依赖C#→TN，决定因素C#是R3的键；
在关系模式R4中有函数依赖TN→TS，决定因素TN是R4的键；
R3,R4都满足BCNF的定义，所以，这两个关系模式都是BCNF。
【例2.44】配件管理关系模式 WPE（WNO，PNO，ENO，QNT）分别表仓库号，配件号，职工号，数量。有以下条件
a.一个仓库有多个职工。
b.一个职工仅在一个仓库工作。
c.每个仓库里一种型号的配件由专人负责，但一个人可以管理几种配件。
d.同一种型号的配件可以分放在几个仓库中。
分析：由以上得 PNO 不能确定QNT，由组合属性（WNO，PNO）来决定，存在函数依赖（WNO，PNO） -> ENO。由于每个仓库里的一种配件由专人负责，而一个人可以管理几种配件，所以有组合属性（WNO，PNO）才能确定负责人，有（WNO，PNO）-> ENO。因为 一个职工仅在一个仓库工作，有ENO -> WNO。由于每个仓库里的一种配件由专人负责，而一个职工仅在一个仓库工作，有 （ENO，PNO）-> QNT。
找一下候选关键字，因为（WNO，PNO） -> QNT，（WNO，PNO）-> ENO ，因此 （WNO，PNO）可以决定整个元组，是一个候选关键字。根据ENO->WNO，（ENO，PNO）->QNT，故（ENO，PNO）也能决定整个元组，为另一个候选关键字。属性ENO，WNO，PNO 均为主属性，只有一个非主属性QNT。它对任何一个候选关键字都是完全函数依赖的，并且是直接依赖，所以该关系模式是3NF。
分析一下主属性。因为ENO->WNO，主属性ENO是WNO的决定因素，但是它本身不是关键字，只是组合关键字的一部分。这就造成主属性WNO对另外一个候选关键字（ENO，PNO）的部 分依赖，因为（ENO，PNO）-> ENO但反过来不成立，而P->WNO，故（ENO，PNO）-> WNO 也是传递依赖。
虽然没有非主属性对候选关键辽的传递依赖，但存在主属性对候选关键字的传递依赖，同样也会带来麻烦。如一个新职工分配到仓库工作，但暂时处于实习阶段，没有独立负责对某些配件的管理任务。由于缺少关键字的一部分PNO而无法插入到该关系中去。又如某个人改成不管配件了去负责安全，则在删除配件的同时该职工也会被删除。
解决办法：分成管理EP（ENO，PNO，QNT），关键字是（ENO，PNO）工作EW（ENO，WNO）其关键字是ENO
缺点：分解后函数依赖的保持性较差。如此例中，由于分解,函数依赖（WNO，PNO）-> ENO 丢失了, 因而对原来的语义有所破坏。没有体现出每个仓库里一种部件由专人负责。有可能出现 一部件由两个人或两个以上的人来同时管理。因此，分解之后的关系模式降低了部分完整性约束。