hdu 1796 容斥原理

Problem Description

Now you get a number N, and a M-integers set, you should find out how many integers which are small than N, that they can divided exactly by any integers in the set. For example, N=12, and M-integer set is {2,3}, so there is another set {2,3,4,6,8,9,10}, all the integers of the set can be divided exactly by 2 or 3. As a result, you just output the number 7.

Input

There are a lot of cases. For each case, the first line contains two integers N and M. The follow line contains the M integers, and all of them are different from each other. 0<N<2^31,0<M<=10, and the M integer are non-negative and won’t exceed 20.

Output

For each case, output the number.

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    12 2 2 3
   
   
   
   

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    7
   
   
   
   
   
   
   
   

    
    
    
    
分析：
    
    
    
    
1：基本的容斥原理。给定一个N 和一个M集合， 找到小于n 的数中有多少是M中元素的整数倍的  个数。 S= n-1
    
    
    
    
设xi 为 S 中能被 M 中 i 个数整除的个数 则 Xans = x1 - x2 + x3 -……+（-1）^(m-1)xm。
    
    
    
    
需要注意的是 ， 求能被i 个数整除的 个数的时候， 用（n-1）/ lcm(mi)  , 即除以M集合中元素的最小公倍数。
    
    
    
    
 2： 从组合数学上分析
    
    
    
    
设全集 为 S={1 2 3 , ... , n-1}  |s| = n-1;
    
    
    
    
M = {m1, m2 , ...  , mm}, 且 M中 个元素互素
    
    
    
    
令Qi(i=12, ,,, , m) 表示S中 能被 mi整除的整数这一性质， 令Ai 为S中 具有性质Qi的那些整数所组成的集合。则|A1 υ 
    
    
    
    
A2 υ ...υ  Am| 表示S中能被任意mi整除的整数个数。
    
    
    
    
 
    
    
    
    
|S| -  |A1 υ A2 υ ...υ  Am|  表示 S中 不能被 mi （i = 1, 2 ,...,m） 整除的整数的个数。即S中 与 M 互质的个数。
    
    
    
    
又    |A1 υ A2 υ ...υ  Am|  = ∑|Ai| - ∑|Ai ∩ Aj|  + ∑|Ai ∩ Aj ∩ Ak| -...+(-1)^(m-1)|A1 ∩ A2 ∩... ∩Am|
    
    
    
    
又    |Ai| = |S| / (mi)     |Ai ∩ Aj|  = |S| / (mi * mj)   同理
    
    
    
    
注意：如果M中各个元素不是 互素的 ，则 |Ai| = |S| / (mi)  ，   |Ai ∩ Aj|  = |S| / lcm(mi , mj)    ,正是本题题意。
    
    
    
    
3：容斥原理 ，是采用 dfs 搜索， 分别对 M 中的 每个元素mi 枚举，  然后遍历mi ,搜索树，设树根深度为1，  当树深度为偶数，sum-= ， 当 树深度为 奇数时 ，sum+=。
    
    
    
    
递归图如下：
    
    
    
    

    
    
    
    
 
    
    
    
    
 
    
    
    
    

    
    
    
    
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int a[30];
int n,m;
LL sum;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL lcm(LL a,LL b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
void dfs(int id,int cur,LL lcmx)//id是点的序号，cur是解答树的第几层
{
    lcmx=lcm(lcmx,a[id]);
    if(cur%2)//第奇数层
        sum+=(n-1)/lcmx;
    else
        sum-=(n-1)/lcmx;
    for(int i=id+1;i<=m-1;i++)
        dfs(i,cur+1,lcmx);
}
int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
        int cnt=0;
        sum=0;
        for(int i=0;i<=m-1;i++)
        {
            int t;
            cin>>t;
            if(t)
                a[cnt++]=t;
        }
        m=cnt;
        for(int i=0;i<=m-1;i++)
            dfs(i,1,a[i]);//计算m中的每一个数
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}

    
    
    
    

    
    
    
    

    
    
    
    

    
    
    
    


    
    
    
    


    
    
    
    
hdu 4135
    
    
    
    
题意:就是让你求(a,b)区间于n互质的数的个数.

    
    
    
    


    
    
    
    

    
    
    
    
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL a,b,n;
int fac[30];
void facx(LL n)//求n的所有素因子依次存入fac数组
{
    LL m=sqrt(n+0.5);
    LL x=1;
    for(LL i=2;i<=m;i++)
        if(n%i==0)
    {
        fac[x++]=i;
        while(n%i==0)
            n=n/i;
    }
    if(n>1)
        fac[x++]=n;
    fac[0]=x-1;
}
LL dfs(LL id,LL b,LL now)//求<=b的数中，与now不互质的个数，id为fac数组编号（1~fac[0]）
{
    LL ans=0;
    for(LL i=id;i<=fac[0];i++)
        ans+=b/fac[i]-dfs(i+1,b/fac[i],now);
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int t=0;
    while(T--)
    {
        cin>>a>>b>>n;
        facx(n);
        cout<<"Case #"<<++t<<":"<<" ";
        cout<<(b-dfs(1,b,n))-(a-1-dfs(1,a-1,n))<<endl;
    }
    return 0;
}