hdu5501The Highest Mark(贪心+背包,好题)

题意:

总共有n道题,t的时间,下面给出每道题可以得到的分数,每分钟的罚时,做这道题需要的时间,求怎么安排时间能使获得的分数最高(所有题目都会)

这道题目官方题解很详细,就直接搬过来了

这道题考察的是贪心思想和动态规划。

首先我们考虑，假如我们已经确定了要做哪些题目，按什么顺序做这些题目最好。

假设已经确定了要做其中的$m$道题，某一个方案中做题的顺序是依次做x_{1},x_{2}\rightarrow{x}_{m}x​1​​,x​2​​→x​m​​，那么对于这个方案中任意的相邻两项{x}_{i}x​i​​,{x}_{i+1}x​i+1​​,考虑交换这两项的顺序，方案是否会变得更优，交换方案中的相邻两项，只会对这两道题的得分有影响，对其余的题目不会产生影响。

如果不交换这两项，损失的分数是 C_{x_{i}} * B_{x_{i+1}} + KC​x​i​​​​∗B​x​i+1​​​​+K，如果交换这两项，损失的分数是C_{x_{i+1}} * B_{x_{i}} + KC​x​i+1​​​​∗B​x​i​​​​+K (K是一个常数) 所以只需要判断是否 C_{x_{i}} * B_{x_{i+1}} \leq C_{x_{i+1}} * B_{x_{i}} + KC​x​i​​​​∗B​x​i+1​​​​+K≤C​x​i+1​​​​∗B​x​i​​​​+K，如果此不等式成立，那么应该交换这两项。对上式移项得 B_{x_{i+1}} / C_{x_{i+1}} > B_{x_{i}} / C_{x_{i}}B​x​i+1​​​​/C​x​i+1​​​​>B​x​i​​​​/C​x​i​​​​ 。所以对于一个确定的题目集合，做题的最优顺序只与每道题目的B_i / C_iB​i​​/C​i​​有关，按每道题目扣分速度与做题时间的比值排序，按照比值从大到小做题。

因此我们先对所有的题目按照这个比值进行排序，接下来，只要按照排好的顺序，选择做哪些题目就可以了。这相当于一个简单的“背包问题”，使用动态规划来解决。{dp}_idp​i​​表示恰好用了$i$分钟的最高得分。状态转移方程为{dp}_i = \max_{1\leq j\leq n}{dp}_{i-C_j} + A_j - (i * B_j)dp​i​​=max​1≤j≤n​​dp​i−C​j​​​​+A​j​​−(i∗B​j​​)。

最终答案是\max_{0 \leq i \leq t}{dp_i}max​0≤i≤t​​dp​i​​。

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#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf -0x3f3f3f3f
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long ll;
int dp[3001];

struct node{
    int grade,time,cost;
}line[1100];

bool cmp(node a,node b){
    return (ll)a.time*b.cost<(ll)b.time*a.cost;
}

int main(){
    int t,_;
    int n;
    scanf("%d",&_);
    while(_--){
        scanf("%d%d",&n,&t);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d%d",&line[i].grade,&line[i].cost,&line[i].time);
        sort(line+1,line+n+1,cmp);
        mem0(dp);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=t;j>=line[i].time;j--){
                dp[j]=max(dp[j-line[i].time]+((line[i].grade-line[i].cost*j)< 0 ? 0:(line[i].grade-line[i].cost*j)),dp[j]);
            }
        int maxv=0;
        for(int i=1;i<=t;i++)
            maxv=max(maxv,dp[i]);
        printf("%d\n",maxv);
    }
    return 0;
}