Miller-Rabin算法 求是不是素数
一.费马小定里
if n is prime and (a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)
费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.
前3个Carmichael数是561,1105,1729。
Carmichael数是非常少的。
在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。
为此又有二次探测定理,以确保该数为素数:
二.二次探测定理
二次探测定理 如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1
根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:
0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数
1、随机取一个b，2<=b
2、计算v=b^m mod n
3、如果v==1，通过测试，返回
4、令i=1
5、如果v=n-1，通过测试，返回
6、如果i==j，非素数，结束
7、v=v^2 mod n，i=i+1
8、循环到5
说明:
Miller-Rabin是随机算法
得到的结果的正确率为 75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为
1-(1/4)^p
- 数学原理
Fermat小定理:
若n是素数，则对所有1≤a≤n-1的整数a，有a^(n-1)mod n=1;
该定理的逆否命题也成立,即a^(n-1)mod n!=1,则n为合数.但是费马定律的逆命题就不一定成立了,比如当a=4,n=15时,4^14mod15=1,但是4不是素数而是合数.
Fermat(n) {
a ←uniform(1..n-1);
if a^(n-1)modn=1 then
return true; //未必正确
else
return false；//正确，一定是合数
}
不过,从大量数据统计来看,如果满足a^(n-1)mod n=1,则n较大概率为素数.那么,我们把那些使得n原本为合数而被看成素数的a叫做伪证据,n为伪素数.同样从大量数据看出有些伪素数n有很多伪证据 a,比如当n=561,a有318个可使得结果判为素数.所以,我们定义了强伪素数概念:
强伪素数设n是一个大于4的奇整数，s和t是使得(n-1)=2^s*t的正整数，其中t为奇数，设B(n)是如下定义的整数集合：
a属于集合B(n)当且仅当2≤a≤n-2且
1: a^tmodn=1
2: 存在整数i，0<=i<s满足a^((2^i)*t) mod n=n-1
当n为素数时， 任意a在2和n-1中，均有a属于集合B(n)
当n为合数时，若a属于集合B(n)，则称n为一个以a为底(基)的强伪素数，称a为n素性的强伪证据。
n为素数，说明它对所有底均为强伪素数
Btest(a，n){
//n为奇数，返回true。即返回真说明n是强伪素数
s←0； t ←n-1； //t开始为偶数
repeat
s++；t ← t÷2；
until t mod 2 = 1； //n-1=2st t为奇数
x ←at mod n；
if x=1 or x=n-1 then return true； //满足①or②。
for i ←1 to s-1 do{
x ←x2 mod n；
if x=n-1 then return true； //满足②，
}
return false；}
通过这一定义则发现,小于1000的奇合数中，随机选到一个强伪证据的概率小于1%
更重要的是，对任一奇合数，强伪证据比例都很小
所以,我们可以多次运行下面的算法,就可把错误概率降低我们可控制的范围
a←uniform(2..n-2);
return Btest(a,n); //测试n是否为强伪素数
}//该算法是3/4-正确，偏假的。
RepeatMillRob(n,k){
for i ←1 to k do
if MillRob(n) =false then
return false; //一定是合数
return true；
}