Stirling数-组合数学

Stirling数

    一、定义

    Stirling数可以指两类数，

    第一类数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目；

    第二类数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。

 

    二、递推公式

    下面分别介绍这两类Stirling数的递推公式。

   

    第一类。

    S（n，0）=0

    S（1，1）=1

   S（n+1，k）=S（n，k-1）+n*S（n，k）

   

   第二类。

    S（n，k）=0，其中n<k或者k=0

    S（n，n）=S（n，1）=1

   S（n，k）=S（n-1，k-1）+k*S（n-1，k）

    三、实际应用

  ①传送门： 山东省第五届ACM大学生程序设计竞赛-Hearthstone II

  ②将n个不同的球放入k个相同的盒子中，有多少种方案？

    这就是第二类Stirling数。

for(i=2; i<=N; i++)
            for(j=1; j<=i; j++)  
                s[i][j]=s[i-1][j-1]+j*s[i-1][j];  
        long long ans=s[n][k]; 

递推公式：

        s[n][0]=0;
        s[n][1]=1;k=1
        s[n][n]=1;
        s[n][k]=0;k>n

       S（n，k）=S（n-1，k-1）+k*S（n-1，k）

思路：

有两种方法，设这N个不同的球编号为N1~Nn

①Nn单独放在一个盒子中，那么剩下的N1~Nn-1个球只能放在剩下的（k-1）个盒子中，方案数为S（n-1，k-1）；

②Nn不单独放在一个盒子中，那么可以先将N1~Nn-1个球放在k个盒子中，Nn放入其中任意一个盒子中，方案数为k*S（n-1，k）。