考场安排－－－图的着色原理之运用 (转载)

设学校共有n门课，需要进行期末考试，因为不少学生不止选修一门课程，所以不能把

同一个学生选修的两门课程安排在同一场次进行考试，问学期的期末考试最少需多少场次考

完？(提示：如果两门课被同一个同学选上，则表示这两门课的顶点之间存在一条边)。

试设计一算法，当给定一个图时G=（V，E），|V|=n，（V i，V j） ЄE，当且仅当有一个同学选了课程i和课程j，试给出一个考试安排方案N 1，N 2，N 3…Nk，N s∩Nt=Φ（s≠t，1≤s，t≤k）且V=N _i(1≤i≤k)。

【问题分析】

本问题可转换成是对一平面图的顶点着色问题判定，既采用回溯法求解。将所选的每门课程变成一个结点，若一个同学选了m(1≤m≤n)门课程时，则这m门课程所对应的结点互相用一条边连接起来。则相邻边的顶点不能着同一种颜色，既不能安排在同一场次考试。但本题又不同于m-着色问题，而是要求最少场次考完，故本问题是求min-着色问题，既所有的顶点最少可用多少种颜色来着色，则本问题可解。

【数据结构】

图的邻接矩阵test[ MAX][ MAX]来表示一个图G，其中若（i，j）是G的一条边，则test[i][j]= test[j] [i] =1，否则test[i][j]= test[j] [i] =0，因为本问题只关心一条边是否存在，所以用邻接矩阵。颜色总数用总课程数目表示。生成解则用数组value[ MAX]来记录，其中value[ i]是结点i的颜色，既课程i可安排在第value[ i]场考试，result[ MAX]用来记录最优解。程序中N表示课程总数，minSum表示最少的考试场次。

【算法设计与分析】

函数init（）是从testArrange.in中读取数据，并建立对应的邻接矩阵，对于本程序所给出的样例第一组数据的邻接矩阵为图1，平面图为图2。

函数nextValue（k）是生成下一种颜色，进入此过程前value[ 1] ，value[ 2]……value[ k-1]以分得了颜色且相邻边的结点有不同的颜色。本过程在区域[1，N]中给value[k]确定一个值，如果还剩下一些颜色，它们与结点K邻接的结点分配的颜色不同，那么就将其中最高标值的颜色分配给结点K，如果没有剩下一些颜色，则置value[ k]=0。

函数testArrange（）是考试方案的一个递归回溯算法，它计算并找出最少场次解。如果没有可用的颜色了，则回溯。给结点K分配颜色后，此时统计已分配的颜色数目，如果大于minSum的值，则进行剪枝，并回溯。在最初调用testArrange（1）之前，以对图的邻接矩阵置初值并对数组value[ MAX]置0值。                                                                                                                                     

函数count（）是对已分配的颜色数目进行统计。

函数print（）是打印考试场次安排方案。

对于每一个内结点，在最坏情况下，函数nextValue（）检查当前扩展结点的每一个儿子结点所相应的颜色的可用性需耗时 O（n ²），因此，回溯算法总的时间耗费 Σn ⁱ（n ²）=n ²（n ⁿ-1）/（n-1）= O（n ⁿ⁺¹）

【程序清单】

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#define MAX 10

int value[MAX],result[MAX],test[MAX][MAX],N,minSum=0;

 

void init(FILE *fp)// 从文件读记录，并建立与课程相对应的邻接矩阵

{

     int a[MAX],t,j,i=0;

     char str[50],*p;

     memset(test,0,sizeof(test));

     fscanf(fp,"%d",&N);

     minSum=N;

     fseek(fp,2,1);

     fgets(str,50,fp);

     p=str;

    while(1)

     {

         while(*p!='/n')

              a[i++]=(int)strtol(p,&p,10);

         if(a[0]==0)

              break;

         for(j=0;j<i;j++)

              for(t=j+1;t<i;t++)

                   test[a[j]][a[t]]=test[a[t]][a[j]]=1;

         i=0;

         fgets(str,50,fp);

    p=str;

     }

}

 

int count(int *count,int k)// 对以生成的解进行统计，以便剪枝

{

     int i,j,n=0;

     for(i=1;i<=k;i++)

     {

         for(j=i+1;j<=k;j++)

              if(count[j]==count[i])

                   break;

         if(j==k+1)

              n++;

     }

     return(n);

}

 

int nextValue(int k)// 生成下一个解

{

     int j,n=0;

     while(1)

     {

         value[k]=(value[k]+1)%(N+1);

         if(value[k]==0)

              return 0;

         for(j=1;j<=N;j++)// 对生成的解进行合法性检查

         {

              if((test[j][k]==1)&&(value[k]==value[j]))

                   break;

         }

         if(j==N+1)

         {  

              return 0;

         }

     }

}

 

int testArrange(int k )// 找一个图的考试方案

{

     int j,t;

     while(1)

     {

         nextValue(k);

         if(value[k]==0)

              return 0;

         j=count(value,k);

         if(j>minSum)

         { // 如果目前生成解的总数以大于以前生成解的总数，则进行剪枝，并回溯 

              for(t=k+1;t<=N;t++)

                   value[t]=0;

              continue;

         }

         if(k==N)

         {

         if(j<minSum)// 记录最少的考试场数

              {

                   minSum=j;

                   for(t=1;t<=N;t++)

                       result[t]=value[t];// 记录最优解

              }

         }

         else

              testArrange(k+1);// 递归调用

     }

}

 

void print(int min)// 打印考试场次安排

{

     int i,t,k,j=1;

     if(min==1)// 只需一个场次

     {

         printf("    %d#:",j);

         for(i=1;i<=N;i++) 

              printf("%d ",i);

         printf("/n");

     }

     else if(min==N)// 一门一个场次

     {

         for(i=1;i<=N;i++) 

              printf("    %d#:%d/n",i,i);

     }

     else// 其他情况

     {

         for(t=1;t<=N;t++)

         {

              i=result[t];

              if(i!=0)

              {

                   printf("    %d#:",j++);

                   for(k=t;k<=N;k++)

                   {

                       if(result[k]==i)

                       {

                            printf("%d ",k);

                            result[k]=0;

                       }

                   }

                   printf("/n");

              }

         }

     }

}

 

void main()

{

     FILE *fp;

     int n,i;

     if((fp=fopen("testArrange.in","r"))==NULL)

     {

         printf("File cann't open!");

         exit(0);

     }

     fscanf(fp,"%d",&n);

    for(i=0;i<n;i++)

    {

         init(fp);

         memset(value,0,sizeof(value));

         testArrange(1);

         printf("Turns:%d/n    testArrange times:%d/n",i+1,minSum);

         print(minSum);

         fseek(fp,2,1);

     }

     fclose(fp);

}

【使用说明】

文件第一行数字表示有几组数据。接下来一行是第一组数据的课程总数 N，紧接下来数行是各个学生所选的课程（每个学生所选的课程占一行），以0结束输入，然后是一行空行，以下便是第二组数据，与前描述一样。

 

样例输入：（以下数据均是文件 S7051B.in的内容）

3                                  

5                                            

1 2 5

2 4                                           

1

2

3 5

4 5

3 5

2 3

1 4

2 5

2 4 5

1 3 4

0

 

4

1 2

2 3

3 4

1 4

0

 

4

1

2

3

4

0

 

样例输出：

Turns:1

    testArrange times:5

    1#:1

    2#:2

    3#:3

    4#:4

    5#:5

Turns:2

    testArrange times:2

    1#:1 3

    2#:2 4

Turns:3

    testArrange times:1

    1#:1 2 3 4