woj 1315 高级机密
Problem 1315 - 高级机密
Time Limit: 1000MSMemory Limit: 65536KBDifficulty: 5
Total Submit: 830 Accepted: 161 Special Judge: No
Description
在很多情况下，我们需要对信息进行加密 。特别是随着Internet的飞速发展，加密计算数就显得尤为重要。
很早以前，罗马人为了在战争中传递信息，频繁地使用替换算法进行信息加密，然而在计算机技术高速发展的今天，这种替换算法显得不堪一击。因此密码研究人员正在试图寻找一种易于编码、但不易于解码的编码规则。
目前比较流行的编码规则称为RSA，是由麻省理工学院的三名教授发明的。这种编码规则是基于一种求密取模算法的：对于给出的三个正整数a，b，c，计算a的b次方除以c所得的余数。
Input
输入数据有多组，每行三个整数a,b,c (0 <= a, b, c <= 2^30)
以一行0 0 0结束.
Output
对于每组输入数据,输出一行包含a^b mod c的值
Sample Input
2 6 11
0 0 0
Sample Output
9
【本题要点：计算大规模数据时，现有的long int,long long int等都不能适用，可以考虑字符串接受数据、公式变形等其他方式进行相关处理】
方法一：
公式变形 a*b%c=((a%c)*b)%c（虽然解决了数据表示问题，但是仍然会因为当b的取值过大时，导致超时问题）
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
long int compute(long int a,long int b,long int c){
long int tmp = a;
for(int i=1; i<b; i++)
tmp = ((tmp%c)*a)%c;
return tmp;
}
int main(){
long int a,b,c;
scanf("%ld%ld%ld",&a,&b,&c);
while(!(a==0 && b==0 && c==0))
{
printf("%ld\n",compute(a,b,c));
scanf("%ld%ld%ld",&a,&b,&c);
}
return 0;
}
方法二：
另一种算法利用了分治的思想，时间复杂度可以达到O(logn)
可以把b按二进制展开为b=p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0)其中p(i)(0<=i<=n)为0或1
这样a^b=a^(p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0))
=a^(p(n)*2^n)*a^(p(n-1)*2^(n-1)*...*a^(p(1)*2)*a^p(0)
对于p(i)=0的情况,a^p(i)*2^(i-1)=a^0=1,不用处理，我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况，a^(2^i)=(a^(p(i)*2(i-1)))^2
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论a*b%c=((a%c)*b)%c，我们加上取模运算a^(2^i)%c=((a^(2(i-1))%c)*a^(2(i-1)))%c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果
示例:
3^6%7=3^(2^2)*3^(2^1)%7
=((3^(2^1))^2%7)*(3^1*3^1%7)
=(((3^1*3^1%7)%7)^2%7*2%7)%7
=(4*2)%7
=8%7
=1
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
long compute(long a,long b,long c){
long result = 1;
while(b>=1){
if(b%2==1) result = a*result%c;
a=a*a%c;
b=b/2;
}
return result;
}
int main(){
long int a,b,c;
scanf("%ld%ld%ld",&a,&b,&c);
while(!(a==0 && b==0 && c==0))
{
printf("%ld\n",compute(a,b,c));
scanf("%ld%ld%ld",&a,&b,&c);
}
return 0;
}
方法三：
利用字符串接受大规模数据，然后化成对于数据中每一位的计算。但是此题中不适用这类方法，故不作细致说明。