[NOIP 2014复习]第五章：图论

一、最短路问题

1、图的存储方式

2、Floyd算法求多源最短路

3、Dijsktra算法求单源最短路

4、Bellman-Ford算法求单源最短路

5、SPFA求单源最短路

(1)Wikioi 1173 最优贸易

题目描述 Description

【问题描述】
C 国有n 个大城市和m 条道路，每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个
城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分
为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。
C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价
格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息
之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城
市的标号从1~ n，阿龙决定从1 号城市出发，并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的
过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方
式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另
一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游，他决定
这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C 国有5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路
为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。
阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2 号城市以3 的价格买入水晶球，在3
号城市以5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。
阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格
买入水晶球，在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号
以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入描述 Input Description

第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，
表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市
y 之间的双向道路。

输出描述 Output Description

包含1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，
则输出0。

样例输入 Sample Input

5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

样例输出 Sample Output

5

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】
输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。
对于 10%的数据，1≤n≤6。
对于 30%的数据，1≤n≤100。
对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。
对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市
水晶球价格≤100。

这个题可以用SPFA来做，不过需要对SPFA算法中的一些细节进行修改！要用SPFA求出从点1到i中最小的点权，从n到i中最大的点权(因为这样才能使贸易方案中卖水晶球的点在买水晶球的点的后面)，边中不再有权，点带权，SPFA时，用数组maxCost[i]表示从n到i最大的点权，minCost[i]表示从1到n最小的点权，然后进行松弛操作！

SPFA完成后，如图所示，找到点A，使得maxCost[B]-minCost[A]最大，即答案。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <queue>

#define MAXV 500000
#define MAXE 100000
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

queue<int>q;

struct edge
{
    int u,v,next;
}edges[MAXV],edges2[MAXV]; //正向边表、反向边表

int head[MAXE],last[MAXE],nCount=0,nCount2=0,n,m;
int minCost[MAXE],maxCost[MAXE]; //minCost[i]=从第1点到i点之间的最小边,maxCost[i]=最大边
int value[MAXE];
bool inQueue[MAXE]; //inQueue[i]=true表示点i在队列内

void AddEdge(int U,int V)
{
    edges[++nCount].u=U;
    edges[nCount].v=V;
    edges[nCount].next=head[U];
    head[U]=nCount;
}

void AddEdge2(int U,int V)
{
    edges2[++nCount2].u=U;
    edges2[nCount2].v=V;
    edges2[nCount2].next=last[U];
    last[U]=nCount2;
}

int max(int a,int b)
{
    if(a>b) return a;
    return b;
}

int min(int a,int b)
{
    if(a<b) return a;
    return b;
}

void SPFA1()
{
    while(!q.empty()) q.pop();
    minCost[1]=value[1];
    memset(inQueue,false,sizeof(inQueue));
    q.push(1);
    inQueue[1]=true;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        inQueue[u]=false;
        for(int p=head[u];p!=-1;p=edges[p].next)
        {
            int v=edges[p].v;
            if(minCost[u]>value[v]||minCost[v]>minCost[u])
            {
                minCost[v]=min(value[v],minCost[u]);
                if(!inQueue[v])
                {
                    q.push(v);
                    inQueue[v]=true;
                }
            }
        }
    }
}

void SPFA2()
{
    while(!q.empty()) q.pop();
    maxCost[n]=value[n];
    memset(inQueue,false,sizeof(inQueue));
    q.push(n);
    inQueue[n]=true;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        inQueue[u]=false;
        for(int p=last[u];p!=-1;p=edges2[p].next)
        {
            int v=edges2[p].v;
            if(maxCost[u]<value[v]||maxCost[v]<maxCost[u])
            {
                maxCost[v]=max(value[v],maxCost[u]);
                if(!inQueue[v])
                {
                    q.push(v);
                    inQueue[v]=true;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int ans=-1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(last,-1,sizeof(last));
    memset(minCost,INF,sizeof(minCost));
    memset(maxCost,-1,sizeof(maxCost));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&value[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        AddEdge(a,b);
        AddEdge2(b,a);
        if(c==2)
        {
            AddEdge(b,a);
            AddEdge2(a,b);
        }
    }
    SPFA1();
    SPFA2();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(ans<maxCost[i]-minCost[i])
            ans=maxCost[i]-minCost[i];
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

二、最小生成树问题

三、拓扑排序

1、POJ 2367 Genealogical tree

http://poj.org/problem?id=2367

很裸的拓扑排序题，是个练手+模板好题

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>

#define MAXE 110 //边的个数
#define MAXV 110 //点的个数

using namespace std;

bool map[MAXV][MAXV]; //map[i][j]=1表示i->j有条边
int inDegree[MAXV]; //inDegree[i]=点i的入度
int n,result[MAXV];

void TopologicalSort() //拓扑排序
{
    int dotOfZeroDegree; //入度为0的点
    for(int i=1;i<=n;i++) //排序后序列中的第i个位置
    {
        for(int j=1;j<=n;j++) //寻找入度为0的点
        {
            if(inDegree[j]==0)
            {
                dotOfZeroDegree=j;
                break;
            }
        }
        inDegree[dotOfZeroDegree]=-1; //标记此点入度为-1，即删除这个点
        result[i]=dotOfZeroDegree;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(map[dotOfZeroDegree][j]) //与该入度为0的点(ˇˍˇ） 想相连的点入度减1
                inDegree[j]--;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int u=1;u<=n;u++)
    {
        int v;
        while(1)
        {
            scanf("%d",&v);
            if(!v) break;
            if(!map[u][v]) //防坑
            {
                map[u][v]=true;
                inDegree[v]++;
            }
        }
    }
    TopologicalSort();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",result[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

四、强连通分量、桥和割点、点双连通分支&边双连通分支

四、网络流