博弈入门

• 巴什博奕（Bash Game）

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。 

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

一般方法：

步骤1:将所有终结位置标记为必败点（P点）；

步骤2: 将所有一步操作能进入必败点（P点）的位置标记为必胜点（N点）

步骤3:如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点（N点），则将该点标记为必败点（P点）；

步骤4: 如果在步骤3未能找到新的必败（P点），则算法终止；否则，返回到步骤2。

• 威佐夫博奕(Wythoff Game)

    有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 

　　这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。 

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k。

奇异局势有如下三条性质：

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 

由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1成立。 

2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 

事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。 

3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b)

若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)；

1.       如果a = ak,

1.1   b> bk, 那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势(ak, bk)；

1.2   b< bk 则同时从两堆中拿走 ak– a[b – ak]个物体,变为奇异局势( a[b – ak] , a[b – ak]+ b -ak)；

2         如果a = bk ,

2.1   b> ak ,则从第二堆中拿走多余的数量b– ak

2.2   b< ak ,则 若b = aj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a– bj; (a > bj)

若b = bj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a– aj; ( a > aj)

结论：

两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。 

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式： 

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数) 

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

• 尼姆博奕(Nimm Game)

    有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 

　　这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。 

　　计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果： 

　　1 =二进制01 

　　2 =二进制10 

　　3 =二进制11 （+） 

　　——————— 

　　0 =二进制00 （注意不进位） 

　　对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。 

　　任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。 

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设a < b < c,我们只要将c 变为a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从c中减去c-（a（+）b）即可。

 

接下来有几个关于博弈的题目，是在这个博客中看到的，也收藏了，呵呵呵。。。。。。

http://hi.baidu.com/%D0%D2%D4%CB%D0%C7vkey/blog/item/e7c69efc4f9c1da99f51465d.html