博弈入门

  • 巴什博奕Bash Game

只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。 

显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=m+1r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。

一般方法:

步骤1:将所有终结位置标记为必败点(P点);

步骤2: 将所有一步操作能进入必败点(P点)的位置标记为必胜点(N点)

步骤3:如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点(N点),则将该点标记为必败点(P点)

步骤4: 如果在步骤3未能找到新的必败(P点),则算法终止;否则,返回到步骤2

  • 威佐夫博奕(Wythoff Game)

    有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 

  这种情况下是颇为复杂的。我们用(akbk)(ak ≤ bk ,k=012...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(00),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(00)、(12)、(35)、(47)、(610)、(813)、(915)、(1118)、(1220)。 

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,bk= ak + k

奇异局势有如下三条性质:

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 

由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1成立。 

2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 

事实上,若只改变奇异局势(akbk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(akbk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。 

3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b)

 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)

1.       如果a = ak,

1.1   b> bk, 那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势(ak, bk)

1.2   b< bk 则同时从两堆中拿走 ak– a[b – ak]个物体,变为奇异局势( a[b – ak] , a[b – ak]+ b -ak)

2         如果a = bk ,

2.1   b> ak ,则从第二堆中拿走多余的数量b– ak

2.2   b< ak , b = aj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a– bj; (a > bj)

b = bj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a– aj; ( a > aj)

结论:

两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。 

那么任给一个局势(ab),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式: 

ak =[k1+√5/2]bk= ak + k k=012...n 方括号表示取整函数

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5/2 = 1.618...因此,由akbk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/1+√5=√5-1/2,可以先求出j=[a√5-1/2],若a=[j1+√5/2],那么a = ajbj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1bj+1 = aj+1 + j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

  • 尼姆博奕(Nimm Game)

    有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 

  这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(abc)表示某种局势,首先(000)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0nn),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(000)。仔细分析一下,(123)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0nn)的情形。 

  计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算,先看(123)的按位模2加的结果: 

  1 =二进制01 

  2 =二进制10 

  3 =二进制11 + 

  ——————— 

  0 =二进制00 (注意不进位) 

  对于奇异局势(0nn)也一样,结果也是0 

  任何奇异局势(abc)都有a+b+c =0 

如果我们面对的是一个非奇异局势(abc),要如何变为奇异局势呢?假设a < b < c,我们只要将变为a+b,即可,因为有如下的运算结果: a+b+(a+b)=(a+a)+(b+b)=0+0=0。要将变为a+b,只要从c中减去c-a+b)即可。

 

接下来有几个关于博弈的题目,是在这个博客中看到的,也收藏了,呵呵呵。。。。。。

http://hi.baidu.com/%D0%D2%D4%CB%D0%C7vkey/blog/item/e7c69efc4f9c1da99f51465d.html

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