Sprase-Table(S-T)算法求解RMQ问题

ST算法

ST算法是一种比较高效的在线算法。

所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。

ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

RMQ

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题。

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=119 例题

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。 
设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态） 
例如： 
A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 
F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8; 

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值） 
这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。 
我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段，长度都为2 ^ (j - 1)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程 F[i, j]=max(F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1])。

code>

void RMQ(int num)
{
	for(int j=1;j<20;j++)
	{
		for(int i=1;i<=num;i++)
		{
			if(i+(1<<j)-1<=num)
			{
				maxsum[i][j]=max(maxsum[i][j-1],maxsum[i+(1<<(j-1))][j-1]);
				minsun[i][j]=min(minsum[i][j-1],minsum[i+(1<<(j-1))][j-1]);
			}
		}
	}
}

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。我们需要理解这个状态转移方程的意义。
状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。
所以应先枚举j(阶段)，再枚举i(状态)

而如果先枚举i，再枚举j，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素的最值。
比如：F[1,2] = max(f[1,1],f[2,1])，但是我们根本没有计算f[2,1]的值，所以这样的方法肯定是错误的。

接下来是查询每段区间[i,j]之间的最大值，这好像和我们刚才预处理出来的东西没有多大关系，但是，

比如：查询[5,6,7,8,9]这一段，我们将其分为之前已经预处理过的[5,6,7,8]和[6,7,8,9]两段

所以需要求出x的值，由图知2^x<=R-L+1，所以最大的x=log2R-L+1,在程序中可以用log(R-L+1)/log2直接计算x。

int ask(int l,int r)
{  
  int x=log(r-l+1)/log(2); 
  return (max(f[l,x],f[r+1-(1<<x),x]));
}