差分约束系统（入门）

简介：
如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是关于一组变量的特殊不等式组。求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。
观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s，s与所有点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行SPFA算法，最终{d[i]}即为一组可行解。(差分约束系统的解的一个特点是，当将所有变量同时增加相同的大小，约束条件依然成立）
如果只是判断差分约束系统是否有解，则可将所有结点放入队列进行一次SPFA解决，即判断负环。

解法：
差分约束系统一般可以转化成图论的最短路或者最长路问题来解决，一般可以使用dijkstra算法或者spfa算法解决。因为dijkstra算法要求所有的边权为正，所以这里重点介绍spfa算法。

SPFA算法：
SPFA算法是bellman-ford算法的队列优化，减少了冗余的计算。
算法思路：实现与广搜类似，不同的是SPFA的结点可以多次进入
1. 采用动态逼近法，先建立一个FIFO队列来保存待优化的
2. 优化时每次取出队首结点 u ，并用 u 当前的最短路径对存在 u-v 路径的结点 v 进行，如果 v 的最短路径有所调整，而且 v 不在当前队列中，将 v 放入队尾
3. 重复 2，直到队列为（其中判负环的方法可以从点进入队列的次数来看，如果结点 u 进入队列超过 n 次，则存在负

时间复杂度： O(k*e) k一般在2左右 ，但是SPFA不太稳定，所以没有负权值一般还是用dijkstra

SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL：
SLF： Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j) < dist(i)，则将j插入队首， 否则插入队尾；
LLL： Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i) > x则将 i 插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。

例题： POJ 3159
这题就是将差分约束系统转成最短路来做，而且不需要建立超级源点。这题不可以使用vector实现邻接表，需要自己实现前向星；而且不可以使用队列优化，得使用栈优化，否则会超时。

代码：

#include <stack>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int n,m,len,d[30010],inque[30010],cnt[30010],head[30010];
struct edge{
    int v,w,next;
}e[350010];

inline void addEdge(int u,int v,int w){
    e[len].v=v,e[len].w=w,e[len].next=head[u];
    head[u]=len++;
}

bool spfa()
{
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(d,INF,sizeof(d));
    stack<int> s;
    d[1]=0,inque[1]=1,cnt[1]=1,s.push(1);
    while(!s.empty())
    {
        int tmp=s.top();
        s.pop(),inque[tmp]=0;
        for(int i=head[tmp];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int index=e[i].v,w=e[i].w;
            if(d[index]>d[tmp]+w)
            {
                d[index]=d[tmp]+w;
                if(!inque[index])
                {
                    inque[index]=1,s.push(index),cnt[index]++;
                    if(cnt[index]>n)
                        return 0;
                }
            }           
        }
    }
    return 1;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        len=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));

        int x,y,w;
        while(m--)
        {
            scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
            addEdge(x,y,w);
        }

        spfa();
        printf("%d\n",d[n]);
    }

    return 0;
}