矩阵快速幂好题PvZ once again
植物大战僵尸算个out的游戏了，原谅被出题逼疯了的跑来挖坟了。
会玩的请无视这一段直接看题目{
游戏中僵尸向你的房子进发，吃掉沿途遇到的植物进入你的房子 你就死翘了
你在土地上种植各种植物来攻击阻挡僵尸
手推车：放置在终点，僵尸走到面前会启动推倒一整行的僵尸
大蒜：可种植的一种植物，发出恶心的气味，僵尸咬了一口就会换到邻近的另一行（如果有相邻两行，那么移动到另外两行概率是相等的）
南瓜：单纯的肉盾 被僵尸啃的
耐久度K： 植物被咬了K口后被僵尸吃掉
如有其他对游戏的不理解请clarify
}
问题是这样的：
我们的院子变成了N行M列的，而且种满了大蒜（耐久度K）（图是我盗了 我不会这么无聊的）coming的僵尸只有一只（然而这只僵尸貌似发生了变异，它每啃一口植物，同一列相同种类的植物也被啃掉一口，一口一排的样子恩恩），初始位置在第S行，因为没有放置攻击性的植物，所以僵尸就一路吃了，于是出题者很想知道僵尸死在自上而下1-N号手推车的概率各是多少
一个整数T（表示T组数据）
接下来的T组数据
每组给定四个整数 N M K S
数据范围
T<=1000
0<N<=20
0<M<=1000
0<K<=1000
1<=S<=N
问题到这就转化为求这个转移矩阵；一开始我用DP的方法，由1次递推到k次，考虑时间复杂度，有n个起始位置，k次转移，有n行，有T组case，总复杂度为1000*1000*20*20，超时了。。。。
最终你会发现在求这个转移矩阵同样可以用 矩阵快速幂。
考虑到他转移的特殊性，他在当前行只能转移到相邻两行，同样的你可以先构造一个转移矩阵
假设n=5，转移矩阵为： 0 0.5 0 0 0 第一行只能由第二行转移过来并且概率为0.5
1 0 0.5 0 0 第二行可由第一行转移过来，概率为1，也可由第三行转移过来，概率为0.5
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 1
0 0 0 0.5 0
然后初始化起点矩阵，运用k次快速幂，就可以求得M[i][j]了；
不过，还要注意当n为1的时候，直接输出概率为1.。。。。。（被卡了半小时。。）
代码奉上：
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n, m, k, s;
struct M
{
double a[21][21];
}b, res, tmp, tmp2;
M multiply(M x, M y)
{
M temp;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)temp.a[i][j]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
for(int l=1;l<=n;l++)
{
temp.a[i][j]+=x.a[i][l]*y.a[l][j];
}
}
}
return temp;
}
void calc(int N)
{
while(N)
{
if(N&1)
res=multiply(res,b);
N>>=1;
b=multiply(b,b);
}
}
void calc2(int N)
{
while(N)
{
if(N&1)
tmp2=multiply(tmp2,tmp);
N>>=1;
tmp=multiply(tmp,tmp);
}
}
int main()
{
int t; scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s);
if(n==1)
{
printf("1.0000\n");
continue;
}
//第一次快速幂
memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));
//初始化第一次的转移矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(i-1==0)
tmp.a[i][i+1]=0.5;
else if(i==n)
tmp.a[i][i-1]=0.5;
else
{
if(i==2)
{tmp.a[i][i+1]=0.5;tmp.a[i][i-1]=1;}
else if(i==n-1)
{tmp.a[i][i+1]=1;tmp.a[i][i-1]=0.5;}
else
{tmp.a[i][i+1]=0.5;tmp.a[i][i-1]=0.5;}
}
}
memset(tmp2.a,0,sizeof(tmp2.a));
for(int i =1; i <= n; i++)tmp2.a[i][i]=1.0;
calc2(k);
for(int i = 1; i <= n; i++)//求解第二次的转移矩阵
{
double h[21],h2[21];
memset(h,0,sizeof(h));
memset(h2,0,sizeof(h2));
h[i]=1.0;
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
for(int l = 1; l <= n; l++)
{
h2[j]+=tmp2.a[j][l]*h[l];
}
}
for(int j = 1; j <= n; j++)
b.a[j][i]=h2[j];
}
//第二次快速幂
double start[21], ans[21];
memset(start, 0, sizeof(start)); start[s]=1;
for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)res.a[i][j]=0;
for(int i = 1; i <= n; i++)res.a[i][i]=1.0;
calc(m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
ans[i]=0;
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
ans[i]+=res.a[i][j]*start[j];
}
}
int flag=0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(!flag)
{
printf("%.4f",ans[i]);
flag=1;
}
else
printf(" %.4f",ans[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
顺便把矩阵快速幂模板给了：
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1000
int k,n;//k次，n为数组大小
struct M
{
int a[N][N];
}origin,res;
M multiply(M x,M y)
{
M temp;
memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
for(int k=0;k<n;k++)
{
temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
}
}
}
return temp;
}
void init()
{
memset(res.a,0,sizeof(res.a));
for(int i = 0; i < n; i++)res.a[i][i]=1;//将res.a初始化为单位矩阵
}
void calc(int m)
{
while(m)
{
if(m&1)
res=multiply(res,origin);
m>>=1;
origin=multiply(origin,origin);
}
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
init();
calc(k);
}
return 0;
}