离散余弦变换定义

在处理复数域信号时，离散傅立叶变换能够把它转换至频域，然而在实际中，大部分的信号都是处理实域信号，这样在离散傅立叶变换之后，由于其对称性，导致一半的冗余数据。在时域，信号的虚部为全0。在频域，其实部和虚部分别具有偶对称以及奇对称性。相比而言，离散余弦变换是针对时域信号的处理方法，它能够避免数据的冗余。另外，由于离散余弦变换是从离散傅立叶变换继承而来，它保留了一些离散傅立叶变换的优点。

为了对一个N点的时域信号 进行离散余弦变换操作，首先需要对其进行扩展，扩展至2N个点，使其在时域周期性，如下：

这2N个点的序列的范围是[-N,N]，它是一个周期信号，周期为2N，并且具有偶对称性，其对称点为m=-1/2。

为了使其0点对称，可以把序列往右移动1/2个单位，或者把序列的坐标轴往左移动1/2个单位，也就是定义

这样定义之后，序列变成

该序列是偶对称，并且对称点在0点。下面的图可以反映这个关系

对该序列作傅立叶变换如下：

展开得到下式：

由于偶对称，而six(-x) = -six(x)，cos(-x) = cos(x)，得到下式：

把坐标移动的式子代入：

上等的右边就是离散余弦变换的计算公式。对上面等式右边进一步简化为：

其中c[n,m]定义如下：

                                                             

上面的矩阵就是余弦变换矩阵。