算法的时间复杂度

 算法的概念：

       算法是对特定问题求解方法和步骤的一种描述，它是指令的一组有限序列，其中每个指令表示一个或多个操作。

算法具有下列五个特性：

1、有穷性

      算法的有穷性是指算法必须能够在执行有限个步骤之后结束，并且每个步骤都必须在有穷时间内完成。

2、确定性

     算法的确定性是指算法中的每个步骤必须是由明确定义的，不允许有模棱两可的解释，也不允许有多义性。

3、可行性

     算法的可行性是指算法中描述的操作室可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现，即算法的具体实现应该能够被计算机执行。

4、输入

     有0个或多个输入

5、输出

     有1个或多个输出

算法的分析：

1、时间复杂度

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“ 大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,  
          设语句2的频度是f(n),   则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
          取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )

2、空间复杂度