[HNOI2004]树的计数(prufer编码+组合数学)

题目:一个有n个结点的树,设它的结点分别为v1, v2, …, vn,已知第i个结点vi的度数为di,问满足这样的条件的不同的树有多少棵。给定n,d1, d2, …, dn,编程需要输出满足d(vi)=di的树的个数。


思路:参考2008年国家集训队论文周梦宇《码之道——浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》

看完论文之后很容易知道这道题的答案即为(n-2)!/(d1-1)!(d2-1)!...(dn-1)!

这道题的数据虽然不大,但是如果直接计算会爆long long

根据组合数学的知识,显然该式最终结果为整数。可以用分解质因数的方法来计算最终结果。

另外,需要考虑两个特殊情况,第一个是只有一个结点,第二个是无法构成一个prufer数列。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=155;
int n;
ll d[maxn];
ll cnt[maxn];
 
void makePrime(int x,int k){
    int div=2;
    while(x>1){
        if(x%div==0){
            cnt[div]+=k;
            x/=div;
        }
        else div++;
    }
}
 
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        int tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&d[i]);
            if(d[i]>1) tot+=d[i]-1;
        }
        if(n==1) {printf("%d\n",!d[1]);continue;}
        if(tot!=n-2) {printf("0\n");continue;}
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        for(int i=2;i<=n-2;i++)
            makePrime(i,1);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=2;j<=d[i]-1;j++){
                makePrime(j,-1);
            }
        }
        ll ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=cnt[i];j++){
                ans*=i;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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