【BZOJ 1019】 [SHOI2008]汉诺塔

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

一开始竟然写了个dfs交上去。。答案不超过10^18啊！！

因为转移的优先顺序，所以到达每一个目标的转移过程是一定的。

考虑dp方程：

f[x][i]表示第x个柱子上有i个盘子，把他们都移动到g[x][i]这个柱子上要花得步数。

首先考虑i=1，因为操作有优先顺序，因此g[x][1]可以确定，f[x][1]都是1。

接下来考虑任意的i，那么我们需要把i-1个移动到g[x][i-1]上面去，再把剩下的一个移动到（1+2+3-x-g[x][i-1]）上。

现在原来在x上的i个处在的两个柱子上，其中一个放了1个盘子，另一个放了i-1个盘子。

设g[x][i-1]=y，即i-1个盘子所在的柱子是y；1+2+3-x-g[x][i-1]=k，即一个盘所在的柱子是k。

分两种情况讨论：

（1）若g[y][i-1]=k，那么把这i-1个直接移到k上转移就完成了。

g[x][i]=k   f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]

(2)若g[y][i-1]=x，这种情况要麻烦一些：

把i-1个从y移动到x上，再把1个从k移动到y上，最后把i-1个从x上移动到y上。

g[x][i]=y  f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[x][i-1]

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#define LL long long
using namespace std;
int v[5],n,g[5][50];
LL f[5][50];
int main()
{
        scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=6;i++)
	{
		char s[5];
		scanf("%s",s);
		int from=s[0]-'A'+1,to=s[1]-'A'+1;
		if (v[from]) continue;
		v[from]=1;
		g[from][1]=to,f[from][1]=1;
	}
	for (int i=2;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=3;j++)
		{
			int y=g[j][i-1];
			int z=6-y-j;
			f[j][i]=f[j][i-1]+1;
			if (z==g[y][i-1])
			{
				f[j][i]+=f[y][i-1];
				g[j][i]=z;
			}
			else
			{
				f[j][i]+=f[y][i-1]+1+f[j][i-1];
				g[j][i]=y;
			}
		}
	cout<<f[1][n]<<endl;
	return 0;
}

感悟：

1.一开始RE是我交的dfs爆栈了。。

2.这道题关键在于对于操作的优先顺序只和i=1时有关。确定了i=1，i=其他数就都可以递推出来了！