【2013-10-3前】图像处理基础之——采样

图像处理基础之——采样

采样定理：

 如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

如果将模拟信号f(x)的傅立叶变换设定为——傅立叶变换大家可以看看三角级数的正交分解

其逆变换为

如果在以外的频率为零，则（2）式变为

将扩展为以2为周期的周期函数

再将以为周期进行傅立叶级数展开，k为整数，从而有

其中

将（4）和（5）代入到（3）式得到

其中

上式使用的关系，用改写上式得出

据此，可以看到由样本间隔的样本值可以利用sinc这一权重函数还原f(x)。——sinc函数，

图像插值方面有些算法就是想办法拟合sinc函数来插值的。

上图b左边图是间隔为1/的线光谱，如果1/2×1/>=即c右图，在频域中用周期1/表示的成分不重叠。通过rect函数和f{comb(x)}的乘积，可以提取频率0位置为中心的。

根据频率中两个函数的乘积与空间域中其各自傅立叶变换的卷积相等。通过rect函数提取的操作，可以表示为空间域rect函数的傅立叶变换与F{F(k)}的逆向傅立叶变换，即与f(k)的卷积。由于rect函数的逆向傅立叶变换为sinc函数，所以f(x)如d图，这意味着可以利用f(k)和sinc函数的卷积进行还原 。

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如果>1/2,如上图，在频域中周期1/下表示的的成分相互重叠。因而它与rect函数的乘积与不相等。即在空间域原模拟信号f(x)也无法正确还原。

参考文献：

Nyquist–Shannon sampling theorem

图像处理技术手册