bzoj：2428: [HAOI2006]均分数据 模拟退火

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bzoj2428

题目描述

Description
已知N个正整数：A1、A2、……、An 。今要将它们分成M组，使得各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小。均方差公式如下：
,其中σ为均方差，是各组数据和的平均值，xi为第i组数据的数值和。

Input

第一行是两个整数，表示N,M的值（N是整数个数，M是要分成的组数）
第二行有N个整数，表示A1、A2、……、An。整数的范围是1–50。
（同一行的整数间用空格分开）

Output

这一行只包含一个数，表示最小均方差的值(保留小数点后两位数字)。

Sample Input

6 3
1 2 3 4 5 6

Sample Output

0.00

HINT

对于全部的数据，保证有K<=N <= 20，2<=K<=6

题解

模拟退火的过程也和真实的退火类似：首先设定初温，然后慢慢降温，降温的同时让解对应的点移动。每次从当前点试图移动到另一个点时，若另一个点的函数值优于当前点的函数值，则接受这个移动，否则以一定的概率接受移动。这个概率随着温度的降低而减小。已有人证明，只要运行的时间足够长，模拟退火是一定可以获得最优解的。

1 设定初温T0 以及初始解S。
2 在S 的邻域内随机选取一个解S ′，若E(S ′) < E(S)，则令
S=S ′，否则令Δt = E(S ′)-E(S)，以T/T0的概率令S=S ′。
3 减小T 的值，若T< T1 则停止，否则转(2)。

我们可以在相同的温度下执行若干次步骤(2) 后再进行降温。模拟退火中有几个重要的参数：初始温度T0，相同温度下的迭代次数k，以及降温的方式（线性、指数）。如果参数设置得当，可能在很快就可以得到最优解或者非常优的次优解。反之可能运行几个小时都只能得到很差的解。考试时，我一般将T0 的值设在1000 ~10000 左右，降温的方式一般采取指数下降，即每次令T=a*T，a是一个小于1 的值，比如0.9、0.99999 等。而迭代次数根据考试时间（提交答案题）或者题目时限（传统题）而定。有时降温方式采取线性下降会取得更好的效果。
总而言之，考试时不要随意地选择参数，应该多试几组参数，通过向屏幕输出当前最优解来判断参数的好坏。

在此题中首先随机设定每个元素所在的组，然后求出初始的方差，然后开始退火，每次退火时首先随机选一个元素t，并得到它所在的组x，然后需要选一组y,把t放入组y中，若温度高的话，此时状态不稳定，很难使最终的搜索结果尽量更优，那么就需要贪心地选当前元素值之和最小的组。若温度低的话，此时状态比较稳定，而且各个组的元素和基本上差不多，此时就需要随机选个y，然后尝试将t放入组y中，若新解更优，则把旧解更新为新解，否则在[0,T0)随机一个数，若随机的数比T小，那么就把旧解更新为新解(T越小，在这种情况下更新解的概率也就越小，T的大小相当于是解的可靠性，T越小，说明此时解越可靠，在新解并不优的情况下改变原有解的概率也就越小)，否则保持原有的解不变。

我们需要重复上述过程多次，就很可能得到最优解了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

int n,m,pos[30],sum[30],a[30];
double ans,minans=1e9,T,avr;

void solve(){
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    ans=0; T=10000;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        pos[i]=rand()%m+1;
        sum[pos[i]]+=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) ans+=(sum[i]-avr)*(sum[i]-avr);
    while(T>0.1){
        T*=0.9;
        int t=rand()%n+1,x=pos[t],y;
        if(T>500) y=min_element(sum+1,sum+1+m)-sum;
        else y=rand()%m+1;
        if(x==y) continue;
        double tmp=ans;
        ans-=(sum[x]-avr)*(sum[x]-avr);
        ans-=(sum[y]-avr)*(sum[y]-avr);
        sum[x]-=a[t]; sum[y]+=a[t];
        ans+=(sum[x]-avr)*(sum[x]-avr);
        ans+=(sum[y]-avr)*(sum[y]-avr);
        if(ans<=tmp||rand()%10000<=T) pos[t]=y;
        else{
            sum[x]+=a[t]; sum[y]-=a[t]; ans=tmp;
        }
        minans=min(minans,ans);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),avr+=a[i];
    avr=avr/m;
    for(int i=1;i<=10000;i++) solve();
    printf("%.2f\n",sqrt(minans/m));
    return 0;
}