矩阵等式 matrix identity（二）

矩阵等式 matrix identity（numpy仿真）

矩阵乘法

Am×n⋅Bn×p=∑jA(:,j)B(j,:)

>> rng('default');
>> A = randi(3, 2, 3); B = randi(3, 3, 2);
>> A*B

ans =
    11    16
    12    15

>> C = zeros(size(A, 1), size(B, 2));
>> for j = 1:size(A, 2),
C = C + A(:, j) * B(j, :);
end

>> C
C =
    11    16
    12    15

矩阵的迹（trace）

矩阵的迹等于其对角元素之和；

function t = trace(A) if ~ismatrix(A) || size(A,1)~=size(A,2) error(message('MATLAB:trace:square'));
end
t = full(sum(diag(A)));

基本性质：

∥A∥2F=tr(A′×A)=tr(A×A′)

>> A = magic(3);

>> norm(A, 'fro')^2
ans =
  285.0000

>> trace(A'*A)
ans =
   285

>> trace(A*A')
ans =
   285

• 矩阵的 F 范数是全体元素平方和，
• A′×A ：其对角线元素分别为列的平方和，
• A×A′ ：其对角线元素分别为行的平方和再相加。
• 本质上都等于： ∑∑A.2