bzoj2876: [Noi2012]骑行川藏 ：拉格朗日乘数法

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bzoj2876

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蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi’ ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi’ 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi’ )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi’ )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。
【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。
【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi’ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。
【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi’ ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

题解

拉格朗日乘数法是用来求条件极值的，极值问题有两类，其一，求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求，这种极值称为无条件极值。这一类可以通过求偏导解决，即分别以每个变元求导，导数同时为0时取最值。其二，对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值。

求函数 f(x1,x2,...,xn) 在满足约束条件 ϕ1(x1,x2,...,xn)=0,ϕ2(x1,x2,...,xn)=0,... 时的条件最值可以转化为求函数 F(x1,...,xn,λ1,λ2,...)=f(x1,x2,...,xn)+λ1ϕ1(x1,x2,...,xn)+λ2ϕ2(x1,x2,...,xn)+... 的无条件最值。于是就可以用偏导来解决。

在此题中 f(x1,x2,...,xn)=∑si/xi , ϕ(x1,...xn)=∑ki(xi−vi)2si−E 。那么很容易得到 F(x1,x2,...,xn,λ) 对每个 xi 和 λ 求导后得到 2λkix2i(xi−vi)=0 且 ∑ki(xi−vi)2si=E 我们发现 x 关于 λ 递减，我们可以二分 λ 然后二分解出 x ，判断条件是否满足即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;

#define eps 1e-12
double ans[10010],k[10010],s[10010],v[10010],E;
int n;

double solve(double a,int i){
    double l=max(0.0,v[i]),r=1e9,mid;
    while(r-l>eps){
        mid=(l+r)/2;
        if(2*a*k[i]*mid*mid*(mid-v[i])<=1) l=mid;
        else r=mid;
    }
    return mid;
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&E);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
    double l=0,r=1e9,mid,sum;
    while(r-l>eps){
        mid=(l+r)/2; sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans[i]=solve(mid,i);
            sum+=k[i]*(ans[i]-v[i])*(ans[i]-v[i])*s[i];
        }
        if(sum>=E) l=mid; else r=mid;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[0]+=s[i]/ans[i];
    printf("%.10f",ans[0]);
    return 0;
}