对角线的延伸

    今天有点空闲时间，把刘未鹏的《康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线》又看了一遍。虽然之前看过很多遍了，也在断断续续地看《GEB》，但是每次看这篇文章，都还会引起一些思考。
    开始先介绍了图灵停机问题和Y Combinator，这两段都总结的很好，深入浅出，比我在别的地方看到的要清楚很多。后面介绍了哥德尔不完备性定理，图灵停机问题和Y
Combinator可以说是自指引起的问题和自指引发的应用，具体的理论还是哥德尔描述的比较清楚。自指本质上就是把一个过程转变为这个过程可以处理的数据，它的核心就是编码，这点是哥德尔首先发表出来的。他在不完备性定理的论文中，用了近三分之一的篇幅来描述怎么把一个形式化定理表示成一个自然数。详细的描述可以看《GEB》，这本书本身也是一本奇书。
    最后文章的高潮部分落在介绍康托的对角线法则。这点有点跳跃的太快了，虽说哥德尔和图灵的方法都是延续自康托的对角线法则，但是为什么康托会首先发现这个呢？仅仅是因为他是个天才，没有什么客观理由吗？
    个人觉得还是有些客观理由的。我们可以看对角线法则那个例子，其中关键的一点就是它是把数字对应到自然数上，形成一个数字到数字的自指。而这里的两个数字实际就是一种东西。可以说我们一直以来就是在用数学来研究数学本身。由于在数学中这种自指比较明显，而且历史悠久，那么作为数学家兼哲学家的康托相比较更容易发现这个神奇的对角线法则就不足为奇了。当然康托提出的那个“可数”的概念还是很有创造性的。
    我也曾经认真思考过对角线法则到底有什么更深层的含义，看来这个在数学里面是没法解决的，恐怕要延伸到哲学领域去了。事实上哥德尔不完备性定理一出来就在哲学界引起了大规模的讨论。但是哲学领域能解决这个问题吗？我觉得还是比较悬，毕竟我们处在这个宇宙之中，我们的思维也处在自己的意识之中，恐怕都逃脱不了被这条对角线划走一半未知区域的命运。
    大胆猜想一下，这种由自指引出的系统的根本限制是否是由系统的封闭性导致的呢？毕竟自指或者说递归在某种程度上可以说只是量变，没有达到质变。比如在计算复杂度理论中就有点这种意味。当然宇宙是否是封闭的系统，人的意识是否是封闭的系统都还不是很确定的。休息，休息一下，接着思考……