http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=481
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给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少
的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。
提示:设V={1,2,...; ,n},构造网络G1=(V1,E1)如下:
每条边的容量均为1。求网络G1的(x0 , y0 )最大流。
对于给定的给定有向无环图G,编程找出G的一个最小路径覆盖。
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input |
多组数据输入. 每组输入第1 行有2个正整数n<=200和m。n是给定有向无环图G 的顶点数,m是G 的边数。接下来的m行,每行有2 个正整数i和j,表示一条有向边(i,j)。 |
output |
每组输出最少路径数。 |
sample_input |
11 12 1 2 1 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 9 11 10 11 |
sample_output |
3 |
分析(引用BYvoid大牛的分析)
有向无环图最小路径覆盖,可以转化成二分图的最大匹配问题,从而用最大流解决。
建模方法:
构造二分图,把原图每个顶点i拆分成二分图x和y集合中的两个顶点,xi和yi,对于原图中存在的每条边(i,j),在二分图
中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型,求网络最大流。
最小路径覆盖的条数,就是原图顶点数,减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找,就是一个路径上的点,输出所有路径即可。
建模分析:
对于一个路径覆盖,有如下性质:
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外,从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点,一个是出发,一个是目标,建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案,都
对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0,那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边,那么路径覆盖数就减少一个,所以路
径数=顶点数- 匹配数。要想使路径数最少,则应最大化匹配数,所以要求二分图的最大匹配。
注意,此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图,如果有环或是无向图,那么有可能求出的一些环覆盖,而不是路径覆盖
代码:最大流模板来自黄大神
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> using namespace std; //-------------------------------------------------------- //-------------------------------------------------------- //最大流模板 const int oo=1e9; const int mm=161111; const int mn=999; int node ,scr,dest,edge; int ver[mm],flow[mm],next[mm]; int head[mm],work[mm],dis[mm],q[mm]; void prepare(int _node,int _scr,int _dest) { node=_node,scr=_scr,dest=_dest; for(int i=0; i<node; ++i) head[i]=-1; edge=0; } void addedge(int u,int v,int c) { ver[edge]=v,flow[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++; ver[edge]=u,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++; } bool Dinic_bfs() { int i,u,v,l,r=0; for(i=0; i<node; i++) dis[i]=-1; dis[q[r++]=scr]=0; for(l=0; l<r; ++l) { for(i=head[u=q[l]]; i>=0; i=next[i]) { if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0) { dis[q[r++]=v]=dis[u]+1; if(v==dest) return 1; } } } return 0; } int Dinic_dfs(int u,int exp) { if(u==dest) return exp; for(int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i]) if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0) { flow[i]-=tmp; flow[i^1]=tmp; return tmp; } return 0; } int Dinic_flow() { int i,ret=0,delta; while(Dinic_bfs()) { for(i=0; i<node; i++) work[i]=head[i]; while(delta=Dinic_dfs(scr,oo)) ret+=delta; } return ret; } //---------------------------------------------------------- //---------------------------------------------------------- int main() { int n,m,u,v,c; int flag[mm]; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { memset(flag,0,sizeof(flag)); prepare(n+m+2,0,n+m+1); for(int i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d",&u,&v); if(flag[u]==0)//每个点只能和源点建一次边,汇点也如此 { addedge(scr,u,1); flag[u]=1; } addedge(u,v+n,1); if(flag[v+n]==0) { flag[v+n]=1; addedge(v+n,dest,1); } } printf("%d\n",n-Dinic_flow()); } return 0; }