最小树形图

 

所谓的最小树形图，就是给有向带权图一个特殊的点root,求一颗以root为根节点的树使得该树的的总权值最小。是不是觉得很神奇，最小树形图的第一个算法在1965年有中国人朱永津和刘振宏两位发明出来的。想想就激动

 

对最小树形图做个小小的总结：

1：清除自环，自环是不可能存在于任何最小树形图中的，另外清除自环后 其复杂度才能真正为O(VE)

2：求出每个顶点的的最小入边

3：判断该图是否存在最小树形图，由 1 可以判定，或者以图中顶点为v作为根节点遍历该图就能判断是否存在最小树形图

4：找环,之后建立新图，缩点后重新标记

 

引用：

 

首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。所有的最小入边都选择出来之后就判断，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环缩成一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。 

　　现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。

 

 模版题：http://blog.csdn.net/no_retreats/article/details/7860810