Polya原理的应用经典实例

关于Polya原理的应用经典实例：

 

问题：用两种颜色去染排成一个圈的6个棋子，如果通过旋转得到只算作一种。问有多少种染色状态。

 

解：先将棋子表上号：

            1

6   2

5   3

  4

 

那么把所有通过旋转m（m大于等于0小于等于5）步的写出来：

    1                  6               5

     6    2             5   1          4   6

     5    3             4   2          3   1

        4                  3               2

  (m=0)              (m=1)       (m=2)

 

        4                  3               2

     3    5             2   4          1    3

     2    6             1   5          6    4

        1                  6                5

  (m=3)              (m=4)       (m=5)

 

然后写出每种的置换群：

   1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6

   1 2 3 4 5 6       6 1 2 3 4 5       5 6 1 2 3 4

       m= 0                 m=1                m=2

 

   1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6

   4 5 6 1 2 3       3 4 5 6 1 2       2 3 4 5 6 1

        m=3               m=4                 m=5

（第一行是原来每位的数字，后一行为现在每位数字）

化简：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)      (1,6,5,4,3,2)    （1,5,3）(2,6,4)

(1,4)(2,5)(3,6)          (1,3,5)(2,4,6)     (1,2,3,4,5,6)

  (每个数对应下一个数，接着再找下一个数的对应数，遇到循环加括号,如上面颜色数字）

 

最后，根据Polya原理：

设G是p个对象的一个置换群，用k种颜色涂染这p个对象，在置换群作用下的不同的染色方案数为

其中m(f)为置换f的循环节数。

上面的循环节数分别是6,1,2,3,2,1

Answer=(2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1)/6=14

（2表示两种颜色，幂表示每种的括号数，除以6表示有6种）