数据结构--堆

1.堆

堆总是满足下列性质：

● 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值

● 堆总是一棵完全树

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
堆的定义如下：n个元素的序列{k1,k2,ki,…,kn}当且仅当满足下关系时，称之为堆。
(ki <= k2i,ki <= k2i+1)或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)

     堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一科完全二叉树结构。它的特点是父节点的值大于（小于）两个子节点的值（分别称为大顶堆和小顶堆）。它常用于管理算法执行过程中的信息，应用场景包括堆排序，优先队列等。

2. 堆的基本操作

    堆是一棵完全二叉树，高度为O（lg n），其基本操作至多与树的高度成正比。在介绍堆的基本操作之前，先介绍几个基本术语：

    A：用于表示堆的数组，下标从1开始，一直到n

　 PARENT(t)：节点t的父节点，即floor(t/2)

　 RIGHT(t)：节点t的左孩子节点，即:2*t

    LEFT(t)：节点t的右孩子节点，即:2*t+1

    HEAP_SIZE(A)：堆A当前的元素数目

 3.保持堆的性质 Heapify(A,n,t)

     该操作主要用于维持堆的基本性质。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)为根的子树都已经是堆，然后调整以t为根的子树，使之成为堆。

void Heapify(int A[],int i)
{
    int l=LEFT(i);
    int r=RIGHT(i);
    int largest;
    if(l<=HEAP_SIZE(A)) largest=A[l]>A[i]?l:i;
        if(r<=HEAP_SIZE(A)) largest=A[r]>A[largest]?r:largest;  //从i,2*i,2*i+1中找出最大的一个
        if(largest!=i)    //i不是最大的
    {
        swap(A[i],A[largest]);
        Heapify(A,largest);  //交换后，子树有可能违反最大堆性质
    }
}

4.建堆 BuildHeap(A,n)

    操作主要是将数组A转化成一个大顶堆。思想是，先找到堆的最后一个非叶子节点（即为第n/2个节点），然后从该节点开始，从后往前逐个调整每个子树，使之称为堆，最终整个数组便是一个堆。子数组A[(n/2)+1..n]中的元素都是树中的叶子，因此都可以看作是只含有一个元素的堆。具体的过程我觉得看《算法导论》里面的图的话理解应该很简单，我找不到那图。

void BuildHeap(int A[],)  
 {    
            int i;
            for(i = HEAP_SIZE(A)/2; i>=1; i--)    
               Heapify(A, i); 
  } 

5.堆排序算法   

     先用BuildHeapo将数组A[1..n]构造成一个最大堆。因为数组中最大元素在根A[1],则可以通过把它与A[n]交换来达到最终正确的位置。

void HeapSort(int A[])
{
    BuildHeap(A);
    for(i=HEAP_SIZE(A),i>1; i--)
    {
        swap(A[1],A[i]);
        HEAP_SIZE(A)=HEAP_SIZE(A)-1;
        Heapify(A,1);  //交换后新的根元素可能委培了最大堆的性质
    }
}

6.优先队列  priority queue

    优先队列是一种用来维护由一组元素构成的集合S的数据机构。相信大家对它都有所了解。虽然说c++里面有了priority_queue,但我们还是要了解它的一些基本构成及实现的代码。

GETMAX:

该操作主要是获取堆中最大的元素，同时保持堆的基本性质。堆的最大元素即为第一个元素，将其保存下来，同时将最后一个元素放到A[1]位置，之后从上往下调整A，使之成为一个堆。

void GetMaximum(int A[])   {
     int max = A[1];
     A[1] = A[n];
     HEAP_SIZE--;
     Heapify(A, n, 1);
     return max;
   } 

INSERT:

向堆中添加一个元素t，同时保持堆的性质。算法思想是，将t放到A的最后，然后从该元素开始，自下向上调整，直至A成为一个大顶堆。

void Insert(int A[], int i)   {  //i为插入的值
    int n=++HEAP_SIZE(A);     
    A[n] = -99999;//小无穷
     int p = n;
     while(p >1 && A[PARENT(p)] < i)  {
       A[p] = A[PARENT(p)];
       p = PARENT(p);
      }
      A[p]=i;
  } 

    总结。

     堆的最常见应用是堆排序，时间复杂度为O(N lg N)。如果是从小到大排序，用小顶堆；从大到小排序，用大顶堆。虽然堆排序是一个很漂亮的算法，但实际中，快排的一个好的实现往往优于堆排序。尽管这样，对数据结构还是有着很大的用处，比如说优先队列。

    例子：  在O(n lg k)时间内，将k个排序表合并成一个排序表，n为所有有序表中元素个数。

【解析】取前100 万个整数，构造成了一棵数组方式存储的具有小顶堆，然后接着依次取下一个整数，如果它大于最小元素亦即堆顶元素，则将其赋予堆顶元素，然后用Heapify调整整个堆，如此下去，则最后留在堆中的100万个整数即为所求 100万个数字。该方法可大大节约内存。

   例子：一个文件中包含了1亿个随机整数，如何快速的找到最大(小)的100万个数字?（时间复杂度：O（n lg k））

堆是一种非常基础但很实用的数据结构，很多复杂算法或者数据结构的基础就是堆，因而，了解和掌握堆这种数据结构显得尤为重要。