【BZOJ 1049】 [HAOI2006]数字序列

1049: [HAOI2006]数字序列

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Description

现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

Input

第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。

Output

第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。 第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。

Sample Input

4
5 2 3 5

Sample Output

1
4

HINT

【数据范围】

90%的数据n<=6000。

100%的数据n<=35000。

保证所有数列是随机的。

神奇的dp。

对于第一问:

改变的数最少即让不变的数最多，那么类似于求最长上升子序列，只是要求增加：f[i]=max(f[j]+1)  (a[i]-a[j]>=i-j)

把a[i]-a[j]>=i-j移项：

a[i]-i>=a[j]-j

因此把每一个数都减去i，直接求LIS即可(用nlogn的算法)

对于第二问（注意：此时每个数已经减去i了！！）：

我们要求使得a数组单调不减的最少改变量。

ydc题解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define M 35005
#define LL long long
using namespace std;
LL g[M],s1[M],s2[M];
struct edge
{
	int y,ne;
}e[M];
int m[M],cnt,h[M],a[M],n,f[M];
void read(int &tmp)
{
	tmp=0;
	char ch=getchar();
	int fu=1;
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())
		if (ch=='-') fu=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
		tmp=tmp*10+ch-'0';
	tmp*=fu;
}
void Solve1()
{
	memset(m,127,sizeof(m));
	int ma=1;
	m[1]=a[1],f[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		int l=1,r=ma,ans=0;
		while (l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if (m[mid]<=a[i]) ans=mid,l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		f[i]=ans+1;
		ma=max(ma,f[i]);
		m[f[i]]=min(m[f[i]],a[i]);
	}
	printf("%d\n",n-f[n]);
}
void Insert(int x,int y)
{
	e[++cnt].y=y;
	e[cnt].ne=h[x];
	h[x]=cnt;
}
void Solve2()
{
	for (int i=n;i>=0;i--)
	{
		Insert(f[i],i);
		g[i]=1LL<<60;
	}
	g[0]=0,a[0]=-1<<30;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=h[f[i]-1];j;j=e[j].ne)
		{
			int p=e[j].y;
			if (p>i) break;
			if (a[p]>a[i]) continue;
			for (int k=p;k<=i;k++)
				s1[k]=abs(a[p]-a[k]),s2[k]=abs(a[i]-a[k]);
			for (int k=p+1;k<=i;k++)
				s1[k]+=s1[k-1],s2[k]+=s2[k-1];
			for (int k=p;k<i;k++)
				g[i]=min(g[i],g[p]+s1[k]-s1[p]+s2[i]-s2[k]);
		}
	cout<<g[n]<<endl;
}
int main()
{
        read(n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		read(a[i]),a[i]-=i;
	a[++n]=1<<30;
	Solve1();
	Solve2();
	return 0;
}

感悟：

1.WA无数次：第一问求错，求整个序列的最长不下降序列，我直接把f[n]当做答案了，应该再加一句a[++n]=inf，f[n]才是答案

2.第二问是贪心，发现贪心似乎都是用反证法来证明的。。