首先给出Lucas(卢卡斯)定理:
有非负整数A、B,和素数p,A、B写成p进制为:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])×C(a[n-1],b[n-1])×...×C(a[0],b[0]) mod p同余。
即:Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ,特别的,Lucas(x,0,p)=1。
其实说白了,Lucas定理就是求组合数C(n,m)mod p(p是素数)的值,即(( n! /(n-m)!)/m! )mod p,而我们
又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p(这里用到了一点逆元和费马小定理的知识),这样我们就可以在计算阶乘的过程中对p取模,不会造成溢出。(需要注意的是Lucas定理处理的p的范围大致为10^5数量级)
看下面一道题:HDU3037
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037
题目大意:m个种子要放在n颗树上,问有多少种方法,结果对素数p取模。
分析:m个种子可以分成两部分:放在树上的和不放在树上的,我们可以假想出第n+1颗树,认为那些没放在树上的种子放在这颗假想树上,这样,问题就变为了m个种子放在n颗树上有多少种方案数了。等价于方程X1+X2+...+Xn+1=m有多少组非负整数解,即(X1+1)+(X2+1)+...+(Xn+1+1)=m+n+1有多少组正整数解。挡板原理:(m+n+1)个1,分成n+1部分的方案数==>C(n+m,n)。到这儿就很明显了,果断Lucas。
实现代码如下:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef long long llg; const int N =150000; llg n, m, p, fac[N]; void init() { int i; fac[0] =1; for(i =1; i <= p; i++) fac[i] = fac[i-1]*i % p; } llg quick_mod(llg a, llg b) { llg tmp = a % p, ans =1; while(b) { if(b &1) ans = ans * tmp % p; tmp = tmp*tmp % p; b >>=1; } return ans; } llg C(llg n, llg m) { if(m > n) return 0; return fac[n]*quick_mod(fac[m]*fac[n-m], p-2) % p; } llg Lucas(llg n, llg m) { if(m ==0) return 1; else return (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p; } int main() { int t; scanf("%d", &t); while(t--) { scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p); init(); printf("%I64d\n", Lucas(n+m, m)); } return 0; }
对于p比较大的情况,不能对阶乘预先处理,需要单独处理。
题目链接:http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020
题目大意:求C(n,m)mod p。n,p是10^9数量级的。
实现代码如下:
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; typedef long long LL; LL n,m,p; LL quick_mod(LL a, LL b) { LL ans = 1; a %= p; while(b) { if(b & 1) { ans = ans * a % p; b--; } b >>= 1; a = a * a % p; } return ans; } LL C(LL n, LL m) { if(m > n) return 0; LL ans = 1; for(int i=1; i<=m; i++) { LL a = (n + i - m) % p; LL b = i % p; ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p; } return ans; } LL Lucas(LL n, LL m) { if(m == 0) return 1; return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p; } int main() { int T; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p); printf("%I64d\n", Lucas(n,m)); } return 0; }