rqnoj 607 莫比乌斯反演应用
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PID607 / [NOI2010]能量采集 ☆
题目标签类型
数论 / 数值
来源
NOI2001
题目描述
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。
由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
输入格式
输入仅包含一行，为两个整数n和m。
输出格式
输出仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
样例输入
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
样例输出
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
思路：首先肯定知道是求所有组个的gcd(x,y)和,但是暴力枚举的话会超时,下面我们去想一下枚举d=gcd(x,y) d作为最大公约数的个数
发现只需要O(nlogn) 好就是这样,这里需要处理掉d的倍数作为最大公约数的个数
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include <ctime>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define maxn 0x3f3f3f3f
#define MAX 1000100
///#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF (1ll<<60)-1
using namespace std;
int n,m;
ll f[100100];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
for(int i=n;i>=1;i--){
f[i]+=(ll)(n/i)*(m/i);
for(int j=i*2;j<=n;j+=i){
f[i]-=f[j];
}
}
ll ans=0;
for(int i=n;i>=1;i--) ans+=f[i]*(i*2-1);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}