bzoj4013: [HNOI2015]实验比较

题目链接

bzoj4013

题目描述

Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和 y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x < y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：（1）x < y等价于 y > x。（2）若 x < y 且y = z，则x < z。（3）若x < y且 x = z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。 实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如： 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断“2 = 1，3 < 2” 不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi < Xi ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x = y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；
接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。

Output

输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

不同的合法序列共5个，如下所示：
1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的数据满足N<=100。

题解

对于等于关系，我们用并查集维护一下。若i优于j则由i在并查集中的祖先向j在并查集中的祖先连一条有向边。题目保证小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki，也就是说每个点的入边只有1条。这样就是个森林。加入一个虚点就可以做树DP了。

记f[i][j] 表示以i为根的子树中合法序列长度为j时的方案数（这里我们将等于关系的元素都看成一个点，也就是说j<=i的子树大小）。假设i有两个儿子u和v。我们考虑将u中长度为j的序列和v中长度为k的序列合并成长度为p的序列。显然max（j,k）<=p<=j+k。那么相当于将k中p-j个元素插入j个元素中（一个位置可以插多个）有 Cp−jp 种方案，再将k中剩余的k-(p-j)个元素与j个元素合并（用=连接）方案数为 Ck−(p−j)j 。所以有 f[i][p]=f[u][j]∗f[v][k]∗Ck−(p−j)j∗Cp−jp 若i有多个儿子，依次合并即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

#define N 110
#define P 1000000007
struct edge{int x,next;}e[N];
struct node{int x,y;}q[N];
int first[N],fa[N],du[N],f[N][N],g[N],size[N],c[N][N],cnt,tot,n,m,x,y,ans;
char s[10];

int get(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=get(fa[x]);}
void add(int x,int y){
    e[++tot].x=y;
    e[tot].next=first[x];
    first[x]=tot;
}
void dfs(int x,int y){
    size[x]=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    if(e[i].x!=y){
        dfs(e[i].x,x);
        if(size[x]==1)
        for(int j=1;j<=size[e[i].x];j++) g[j]=f[e[i].x][j];
        else {
            for(int j=1;j<size[x];j++)
             for(int k=1;k<=size[e[i].x];k++)
              for(int p=max(j,k);p<=j+k;p++)
              g[p]=(g[p]+(long long)f[x][j]*f[e[i].x][k]%P*c[p][p-j]%P*c[j][k-p+j]%P)%P;
        }
        size[x]+=size[e[i].x];
        for(int j=1;j<size[x];j++) f[x][j]=g[j],g[j]=0;
    }
    for(int i=size[x];i>1;i--) f[x][i]=f[x][i-1];
    f[x][1]=(size[x]==1);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%s%d",&x,s,&y);
        if(s[0]=='=') fa[get(x)]=get(y);
        else {
            if(s[0]=='>') swap(x,y);
            q[++cnt].x=x;
            q[cnt].y=y;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        add(get(q[i].x),get(q[i].y));
        du[get(q[i].y)]++;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(fa[i]==i&&du[i]==0) add(0,i);
    dfs(0,0);
    for(int i=2;i<=size[0];i++) ans=(ans+f[0][i])%P;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}