bzoj 1597: [Usaco2008 Mar]土地购买（斜率优化）

1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Source

Gold

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题解：斜率优化

把土地的长作为第一关键字，宽作为第二关键字，使长单调递增，宽单调递减

如果一个土地的长比另一块土地小，并且宽也比那一块土地小（或相等），那么这块土地对答案没有贡献，直接舍去。

这样就能保证长单调不下降，宽单调不上升

状态转移方程：f[i]=f[j]+x[i]*y[j]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 50003
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,tot,q[N],mark[N];
ll x[N],y[N],f[N];
struct data
{
    ll x,y;
};data a[N];
int cmp(data a,data b)
{
    return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y>b.y;
}
ll K(int j)
{
    return y[j+1];
}
ll B(int j)
{
    return f[j];
}
ll calc(int i,int j)
{
    return K(j)*x[i]+B(j);
}
bool pd(int x1,int x2,int x3)
{
    ll w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
    ll w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
    return w1>=w2;
} 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    tot=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
     {
        while (tot&&a[i].y>=y[tot]) tot--;
        tot++; x[tot]=a[i].x; y[tot]=a[i].y;
     }
    int head=0,tail=0;
    for (int i=1;i<=tot;i++)
     {
        while (head<tail&&calc(i,q[head])>=calc(i,q[head+1]))
         head++;
        f[i]=calc(i,q[head]);
        while (head<tail&&pd(i,q[tail-1],q[tail]))
         tail--;
        ++tail; q[tail]=i;
     }
    printf("%lld",f[tot]);
}