POJ 3169 Layout(差分约束-Bellman-Ford)

Description
当排队等候喂食时,奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。FJ有N(2<=N<=1000)头奶牛,编号从1到N,沿一条直线站着等候喂食。奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。因为奶牛相当苗条,所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。即使说,如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话,允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。
一些奶牛相互间存有好感,它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数L。另一方面,一些奶牛相互间非常反感,它们希望两者间的距离不小于一个给定的数D。给出ML条关于两头奶牛间有好感的描述,再给出MD条关于两头奶牛间存有反感的描述。(1<=ML,MD<=10000,1<=L,D<=1000000)
你的工作是:如果不存在满足要求的方案,输出-1;如果1号奶牛和N号奶牛间的距离可以任意大,输出-2;否则,计算出在满足所有要求的情况下,1号奶牛和N号奶牛间可能的最大距离
Input
第一行为三个整数N,ML,MD,之后ML行每行为一条两头奶牛间有好感的描述,三个整数A,B,D,表示奶牛A,B距离不超过D,最后MD行每行一条两头奶牛间存在反感的描述,三个整数A,B,D,表示奶牛A,B距离不小于D
Output
如果不存在满足要求的方案,输出-1;如果1号奶牛和N号奶牛间的距离可以任意大,输出-2;否则,计算出在满足所有要求的情况下,1号奶牛和N号奶牛间可能的最大距离
Sample Input
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3
Sample Output
27
Solution
如果当前问题比较复杂,我们应该学会“退一步”思考,由简单到复杂。
求最大值不知从何下手,我们先从容易的开始分析。我们先研究,如果不要求输出1和N的最大距离,而只需一个可行的距离,应该如何操作。
我们用D[i]表示I号奶牛和1号奶牛间的距离。因为在队伍中的顺序必须和编号相同,所以对于任意I号奶牛,1 <= I < N,在距离上应该满足:D[I+1] - D[I] >= 0
对于每个好感的描述(i,j,k),假设i<=j,体现到距离上的要求就是:D[j] - D[I] <= k
对于每个反感的描述(i,j,k),假设i<=j,体现到距离上的要求就是:D[j] - D[I] >= k
这时的模型有一个名称,叫作:差分约束系统。
为了方便起见,我们将每种不等式写成我们约定的形式:
D[I] <= D[I+1]
D[j] <= D[I] + k
D[I] <= D[j] - k
在求顶点间地最短路问题中,我们有这样的不等式:若顶点u到顶点v有边e=uv,且边权为w(e),设d(u),d(v)为源点到顶点u和顶点v的最短路长,则 d(v) <= d(u) + w(e)
这个不等式和前面的条件形式十分相似,这就启发我们用构图用最短路做。
具体步骤是:
作有向图G=(V,E),V={ v1,v2,v3,…,vn},E={e1,e2,e3,…},对于相邻两点i和(i+1),对应的顶点vi+1向vi引一条边,费用为0;对于每组好感描述(ai,bi,di),我们假设有ai < bi,否则ai和bi交换,则顶点vai向vbi引一条边,费用为di;对于每组反感描述(ai,bi,di),我们假设有ai < bi,否则ai和bi交换,则顶点vbi向vai引一条边,费用为-di。
于是问题变为在G中求v1到其它所有顶点的最短路。我们证明若G中无负权回路,则问题有解,即存在满足条件的数列,若G中有负权回路,则问题无解,即不存在满足条件的数列。
故问题是否有解等价于图G是否没有负权回路。
证明:若G中无负权回路,我们可以求出v1其他顶点u的最短路长,设为d(u)。由于是最短路,因此对于任意边eE,e=uv,有d(u)+w(e)>=d(v),从而所有的约束条件都被满足,问题一定有解。若G中有负权回路,说明在任何时刻,G中至少有一个点v的最短路长可以更新,因此必须存在一条边e=uv,使得d(u)+w(e) < d(v)。所以无论何时,都会有某个约束条件不被满足,问题无解。
检测负权回路,可以用Bellman-Ford算法。
Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define INF 1000000000
#define maxn 10001
int n,ml,md;
int al[maxn],bl[maxn],dl[maxn];
int ad[maxn],bd[maxn],dd[maxn];
int d[maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md);
    for(int i=0;i<ml;i++)
        scanf("%d%d%d",&al[i],&bl[i],&dl[i]);
    for(int i=0;i<md;i++)
        scanf("%d%d%d",&ad[i],&bd[i],&dd[i]);
    fill(d,d+n,INF);//初始化 
    d[0]=0;
    for(int k=0;k<n;k++)//Bellman-Ford算法 
    {
        for(int i=0;i+1<n;i++)
            if(d[i+1]<INF)
                d[i]=min(d[i],d[i+1]);
        for(int i=0;i<ml;i++)
            if(d[al[i]-1]<INF)
                d[bl[i]-1]=min(d[bl[i]-1],d[al[i]-1]+dl[i]);
        for(int i=0;i<md;i++)
            if(d[bd[i]-1]<INF)
                d[ad[i]-1]=min(d[ad[i]-1],d[bd[i]-1]-dd[i]);    
    }
    int res=d[n-1];
    if(d[0]<0)//存在负权回路 
        res=-1;
    else if(res==INF)//奶牛1到顶奶牛n距离无穷大 
        res=-2;
    printf("%d\n",res);//奶牛1到奶牛n间的最大距离 
    return 0;
}

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