【bzoj1010】[HNOI2008]玩具装箱toy 斜率优化DP

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

HINT

Source

朴素的状态转移方程：

fi=min(fj+(i−j−1+(si−sj)−l)2)

我们让 l++ ，并且 a[i]=s[i]+i ，则

fi=min(fj+(ai−al−l)2)

然后设 j<k 并且 j 比 k 优

最后是

(fj+a2j+2laj)−(fk+a2k+2lak)aj−ak>2ai

斜率递增。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int SZ = 1000010;
const int INF = 1000000010;

int n,l;
LL f[SZ],s[SZ],a[SZ];

LL g(LL x)
{
    return f[x] + a[x] * a[x] + 2 * l * a[x];
}

LL pf(LL x)
{
    return x * x;
}

double xl(int x,int y)
{
    return (g(x) - g(y)) / (double)(a[x] - a[y]);
}

int q[SZ],t = 0,w = 0;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&l);
    l ++;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        s[i] = s[i - 1] + x;
        a[i] = i + s[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        while(t < w && xl(q[t],q[t + 1]) < 2 * a[i]) t ++;
        int x = q[t];
        f[i] = f[x] + pf(a[i] - a[x] - l);
        while(t < w && xl(q[w - 1],q[w]) > xl(q[w],i)) w --;
        q[++ w] = i;        
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}