POJ 2411 Mondriaan's Dream (状压DP)

题目类型  状压DP

题目意思

给出一个 n * m (1 <= n, m <= 11)的空白矩阵 问用 1×2 或 2×1 的小矩阵填満整个空白矩阵的方法数有多少个

解题方法

由于行和列最多只有11 所以可以用状态压缩 把一行的放置状态压缩为一个整数然后进行dp

dp[i][j] -> 前i行 第i行状态为j的方法数有多少个

其中状态 j 的规则 : 对于第i行 某一位上如果是被 1 * 2 (即横放)的小矩阵覆盖 或 被 2*1的小矩阵的下面一格覆盖 , 则这一位为 1 其他情况这一位为 0 

这样设计规则的话 第 i-1 行向 第 i 行转移时 (第 i 行的状态只和第 i-1 行状态有关和i-1上面的行均无关系, 因为那些行的状态影响不了第 i 行)

如果第 i-1行有0状态位的话 那么第 i 行对应位肯定要置为 1 (即放置一个2×1的小矩阵) 然后就可以枚举第 i 行其他未设状态的位的情况 (可以用DFS)

其他位这时只有一种放置情况就是连续两格放一个 1*2 的小矩阵 (因为放置2×1的小矩阵的话这一位依然是0相当于没放, 这一个情况是会被下一行

放置一个 2*1的小矩阵所考虑的) 

详细转移过程看代码 可以用滚动数组优化内存

参考代码 - 有疑问的地方在下方留言 看到会尽快回复的

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;
LL dp[2][2100];
bool vis[20];
int m, now;

void DFS(int i, int j) {
	if(i == m) {
		int tmp = 0;
		for( int k=0; k<m; k++ ) if(vis[k]) tmp += (1<<k);
		dp[now^1][tmp] += dp[now][j];
		return ;
	}
	if(i+1 < m && vis[i] == false && vis[i+1] == false) {
		vis[i] = vis[i+1] = true;
		DFS(i+2, j);
		vis[i] = vis[i+1] = false;
	}
	if(i < m) DFS(i+1, j);
}

int main() {
	int n;
	while(scanf("%d%d", &n, &m), n || m) {
		now = 0;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		dp[now][(1<<m)-1] = 1;  //边界值, 刚开始假设最上面一行上面有一行已经填满的行
		for( int i=0; i<n; i++ ) {
			for( int j=0; j<(1<<m); j++ ) { // 枚举第 i-1 行的状态去更新第 i 行, 第-1行就是刚刚的边界值
				if(dp[now][j] == 0) continue;
				memset(vis, 0, sizeof(vis));
				for( int k=0; k<m; k++ ) {
					if((j & (1<<k)) == 0) vis[k] = true; // 首先把 要放置 2×1矩阵的先放了
				}
				DFS(0, j); // 再枚举放 1*2矩阵的
			}
			now ^= 1;  //滚动数组优化内存
			for( int j=0; j<(1<<m); j++ ) dp[now^1][j] = 0;
		}
		cout<<dp[now][(1<<m)-1]<<endl; // 注意要用 long long
	}
	return 0;
}