剑指offer-面试题9：斐波那契数列

题目一：写一个函数，输入n，求斐波那契(Fabonacci)数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

效率很低的解法：递归

long long Fibonacci(unsigned n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;
    if(n == 1)
        return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

实用解法：递归解法种包含着许多重复计算，如果我们从下往上计算，则可以避免重复的计算。

long long Fibonacci(unsigned n)
{
    int result[2] = {0,1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    long long fibNMinosOne = 1;
    long long fibNMinusTwo = 0;
    long long fibN = 0;
    for(unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        fibN = fibNMinueOne + fibNMinueTwo;
        
        fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
        finbNMinusOne = fibN;
    }
    return fibN;
}

矩阵解法：利用数学公式，转换为求指数问题，而求指数又可以进一步简化计算，时间复杂度O(longn).

#include <iostream>
using namespace std; 

long long martrix[4] = {1,1,1,0};

long long* multiply(long long* martrixA, long long* martrixB)
{
	if(martrixA == NULL || martrixB == NULL)
		cout << "Input is wrong" << endl;
	long long* martrixC = new long long[4];
	martrixC[0] = martrixA[0]*martrixB[0] + martrixA[1]*martrixB[2];
	martrixC[1] = martrixA[0]*martrixB[1] + martrixA[1]*martrixB[3];
	martrixC[2] = martrixA[2]*martrixB[0] + martrixA[3]*martrixB[2];
	martrixC[3] = martrixA[2]*martrixB[1] + martrixA[3]*martrixB[3];
	return martrixC;
}
long long* power(unsigned n)
{
	if(n == 0)
		return 0;
	if(n == 1)
		return martrix;
	if(n%2 == 0)
		return multiply(power(n/2), power(n/2));
	else
		return multiply(martrix,multiply(power((n-1)/2), power((n-1)/2)));
}
		
long long Fibonacci(unsigned n)
{
	if(n <= 2)
		return martrix[3-n];
	return *power(n-1);
}

int main() {
	// your code goes here
	cout << Fibonacci(10) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

题目二：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：这个问题书上说也是一个斐波那契数列问题，一开始没想起来，看来还是缺少程序员思维。设跳上n级台阶的跳法为n的函数f(n),如果第一次跳1级，那么还剩下n-1级需要跳，跳法即为f(n-1);如果第一次跳2级，那么还剩下n-2级台阶，跳法为f(n-2),有f(n) = f(n-1)+f(n-2),果然又是个斐波那契数列问题！

问题扩展：如果青蛙每次跳的级数不局限于1级和2级，也可以是n级，那么跳上n级台阶有多少种跳法？

思路：如果在跳上n级台阶之前的一跳级数为1，那么前面n-1级台阶的跳法为f(n-1),同理这一跳也可能是2，3，直到n,所以有f(n) = f(n-1) + f(n-2) + …+f(1) + 1,用数学归纳法可以证明f(n) = 2^(n-1)。