Hdu 2923 MAX Average Problem (DP_斜率优化)

 

Hdu 2923 MAX Average Problem (DP_斜率优化)

分类： 全部博客 ACM_好题经典题 ACM_动态规划(DP) 2012-08-22 00:33  336人阅读  评论(0)  收藏  举报

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2993

题目大意：给定一个长度为n的序列，从其中找连续的长度大于m的子序列使得子序列中的平均值最小。

解题思路：经典斜率优化DP，04年周维的论文《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》有很详细的分析，这里只讲下实现。

     本题设子序列长度为x，子序列内和为y，使用单调队列来维护凸包的凸性。每次遍历到新的点时都要先把队尾的凸点给去掉，判断条件是y1 * x2 <= y2 * x1((x1,y1)是队尾的点，(x2,y2)是队尾的前一个点).  然后每次更新答案的时候，要把不可能是最优解的点给去掉，判断条件是y1 * x2 <= y2 * x1((x1,y1)是队头的点，(x2,y2)是队头的后一个点)。

     我的第一次ac代码700+ms，第二次加了输入外挂就成312ms了，然后将sum数组从double改成int成281ms，Rank3.    

测试数据：

Input:
10 6
6 4 2 10 3 8 5 9 4 1
1 1
1
10 3
1 2 3 1 2 3 4 5 6 1

Output:
6.50
1.00
5.00

C艹代码：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX 100001


 double ans;
 int sum[MAX],n,len;
 int qu[MAX],head,tail;


 double Solve_DP() {

     int i,j,k,pre,cur;
     double x1,x2,y1,y2;


     ans = 0;
     qu[tail] = 0;
     head = tail = 0;


     for (i = len; i <= n; ++i) {

         cur = i - len;
         while (head < tail) {
             //维护队列内凸包的凸性
             pre = qu[tail];
             x1 = cur - pre;
             y1 = sum[cur] - sum[pre];
             pre = qu[tail-1];
             x2 = cur - pre;
             y2 = sum[cur] - sum[pre];


             if (y1 * x2 <= y2 * x1) tail--;
             else break;
         }


         qu[++tail] = cur;
         while (head < tail) {
             //寻找最优的那个点
             cur = i;
             pre = qu[head];
             x1 = cur - pre;
             y1 = sum[cur] - sum[pre];
             pre = qu[head+1];
             x2 = cur - pre;
             y2 = sum[cur] - sum[pre];


             if (y1 * x2 <= y2 * x1) head++;
             else break;
         }


         pre = qu[head];
         double temp = (sum[i] - sum[pre]) * 1.0 / (i - pre);
         if (temp > ans) ans = temp;
     }


     return ans;
 }
 int Input() {

     char ch = ' ';
     while (ch < '0' || ch > '9')
         ch = getchar();
     int x = 0;
     while (ch >= '0' && ch <= '9')
         x = x * 10 + ch - '0',ch = getchar();
     return x;
 }


 int main()
 {
     int i,j,k;


     while (scanf("%d%d",&n,&len) != EOF) {

         for (i = 1; i <= n; ++i)
             k = Input(),sum[i] = sum[i-1] + k;


         ans = Solve_DP();
         printf("%.2lf\n",ans);
     }
 }

本文ZeroClock原创，但可以转载，因为我们是兄弟。

 

Hdu 3507 Print Article (DP_斜率优化)

分类： 全部博客 ACM_动态规划(DP) 2012-08-23 16:42  440人阅读  评论(0)  收藏  举报

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

题目大意：给定一个长度为n的序列，和一个常数m，我们可以将序列分成随意段，每段的权值为sum(arr[i]) + C(x<=i<=y)，求一种划分方法使得整个序列的权值最小.n<=50万。

解题思路：做完Hdu的2829，然后再看这题，一切变得如此简单，用两种方法解。

     状态转移方程为: dp[i] = min(dp[j] + (sum[i]-sum[j])^2 + m) (j < i);

     方法一：dp[i] = dp[j] + (sum[i]-sum[j])^2 + m = dp[j] + sum[i] * sum[i] + sum[j] * sum[j] - 2 * sum[i] * sum[j] + m;

     设y =  dp[j] + sum[j] * sum[j],x = sum[j]，那么原式等于:dp[i] = y + 2 * sum[i] * x + m + sum[i] * sum[i],然后套下斜率优化DP模板即可ac。

     方法二:方法二使用的优化技巧类似于四边形不等式，用个s[i] 记录dp[i]由前面的哪个状态转移过来，然后枚举的时候只要枚举s[i-1] 到i-1就可以了。

     第二种方法似乎比第一种要慢一些，常数比较大。

测试数据：

Input
5 5
5 9 5 7 5
1 1000
1
3 1000
1 3 5
3 0
1 3 5
1 0
100000

OutPut:
230
1001
1081
35
10000000000

C艹代码：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX 510000
 #define int64 long long


 struct point{

     int64 x,y,c;
 }pot[MAX];
 int n,m,arr[MAX];
 int64 sum[MAX],dp[MAX];
 int qu[MAX],head,tail;


 int CheckIt(int x,int y,int z) {

     point p0 = pot[x],p1 = pot[y],p2 = pot[z];
     return (p0.x -p1.x) * (p0.y - p2.y) - (p0.y - p1.y) * (p0.x - p2.x) <= 0;
 }
 int NotBest(int x,int y,int k) {

     point p0 = pot[x],p1 = pot[y];
     return p0.y - k * p0.x > p1.y - k * p1.x;
 }
 int64 Solve_DP() {

     head = tail = 0;
     qu[tail] = 0;
     pot[0].x = pot[0].y = 0;


     for (int i = 1; i <= n; ++i) {

         pot[i].x = sum[i-1];
         pot[i].y = dp[i-1] + sum[i-1] * sum[i-1];
         while (head <= tail - 1 &&
                 CheckIt(qu[tail-1],qu[tail],i)) tail--;


         qu[++tail] = i;
         while (head + 1 <= tail &&
                 NotBest(qu[head],qu[head+1],2 * sum[i])) head++;
         int k = qu[head];
         dp[i] = pot[k].y - 2 * sum[i] * pot[k].x + sum[i] * sum[i] + m;
     }


     return dp[n];
 }
 int64 Solve_DP2() {

     for (int64 mmin,i = 1; i <= n; ++i) {

         mmin = -1;
         for (int j = qu[i-1]; j < i; ++j)
             if (mmin == -1 ||
                     dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) < mmin) {

                 mmin = dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]);
                 qu[i] = j;
             }


         dp[i] = mmin + m;
     }
     return dp[n];
 }


 int main()
 {
     int i,j,k;


     while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {

         for (i = 1; i <= n; ++i)
             scanf("%d",&arr[i]),sum[i] = arr[i] + sum[i-1];


         int64 ans = Solve_DP2();
         printf("%lld\n",ans);
     }
 }

本文ZeroClock原创，但可以转载，因为我们是兄弟。

Hdu 3507 Print Article (DP_斜率优化)

分类： 全部博客 ACM_动态规划(DP) 2012-08-23 16:42  440人阅读  评论(0)  收藏  举报

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

题目大意：给定一个长度为n的序列，和一个常数m，我们可以将序列分成随意段，每段的权值为sum(arr[i]) + C(x<=i<=y)，求一种划分方法使得整个序列的权值最小.n<=50万。

解题思路：做完Hdu的2829，然后再看这题，一切变得如此简单，用两种方法解。

     状态转移方程为: dp[i] = min(dp[j] + (sum[i]-sum[j])^2 + m) (j < i);

     方法一：dp[i] = dp[j] + (sum[i]-sum[j])^2 + m = dp[j] + sum[i] * sum[i] + sum[j] * sum[j] - 2 * sum[i] * sum[j] + m;

     设y =  dp[j] + sum[j] * sum[j],x = sum[j]，那么原式等于:dp[i] = y + 2 * sum[i] * x + m + sum[i] * sum[i],然后套下斜率优化DP模板即可ac。

     方法二:方法二使用的优化技巧类似于四边形不等式，用个s[i] 记录dp[i]由前面的哪个状态转移过来，然后枚举的时候只要枚举s[i-1] 到i-1就可以了。

     第二种方法似乎比第一种要慢一些，常数比较大。

测试数据：

Input
5 5
5 9 5 7 5
1 1000
1
3 1000
1 3 5
3 0
1 3 5
1 0
100000

OutPut:
230
1001
1081
35
10000000000

C艹代码：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX 510000
 #define int64 long long


 struct point{

     int64 x,y,c;
 }pot[MAX];
 int n,m,arr[MAX];
 int64 sum[MAX],dp[MAX];
 int qu[MAX],head,tail;


 int CheckIt(int x,int y,int z) {

     point p0 = pot[x],p1 = pot[y],p2 = pot[z];
     return (p0.x -p1.x) * (p0.y - p2.y) - (p0.y - p1.y) * (p0.x - p2.x) <= 0;
 }
 int NotBest(int x,int y,int k) {

     point p0 = pot[x],p1 = pot[y];
     return p0.y - k * p0.x > p1.y - k * p1.x;
 }
 int64 Solve_DP() {

     head = tail = 0;
     qu[tail] = 0;
     pot[0].x = pot[0].y = 0;


     for (int i = 1; i <= n; ++i) {

         pot[i].x = sum[i-1];
         pot[i].y = dp[i-1] + sum[i-1] * sum[i-1];
         while (head <= tail - 1 &&
                 CheckIt(qu[tail-1],qu[tail],i)) tail--;


         qu[++tail] = i;
         while (head + 1 <= tail &&
                 NotBest(qu[head],qu[head+1],2 * sum[i])) head++;
         int k = qu[head];
         dp[i] = pot[k].y - 2 * sum[i] * pot[k].x + sum[i] * sum[i] + m;
     }


     return dp[n];
 }
 int64 Solve_DP2() {

     for (int64 mmin,i = 1; i <= n; ++i) {

         mmin = -1;
         for (int j = qu[i-1]; j < i; ++j)
             if (mmin == -1 ||
                     dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) < mmin) {

                 mmin = dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]);
                 qu[i] = j;
             }


         dp[i] = mmin + m;
     }
     return dp[n];
 }


 int main()
 {
     int i,j,k;


     while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {

         for (i = 1; i <= n; ++i)
             scanf("%d",&arr[i]),sum[i] = arr[i] + sum[i-1];


         int64 ans = Solve_DP2();
         printf("%lld\n",ans);
     }
 }

本文ZeroClock原创，但可以转载，因为我们是兄弟。