并查集的学习
l 并查集：(union-find sets)
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。
l 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图
l 并查集的优化
1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。
2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。
数据结构——并查集的应用
并查集是一种简单的数据结构，相对于其他数据结构来说，编程难度很小，也很灵活，适当的find函数与Union函数便可以解决很多问题。
int find(int x){
if(x==parent[x]) return x;
return parent[x]=find(parent[x]);
}
void Union(int a,int b){
int pa=find(a);
int pb=find(b);
if(pa!=pb) parent[pa]=pb;
}
并查集的应用：
并和查有关的集合操作
并查集可以用于相关的集合操作，如判定一个无向图是否有环，输出一个无向图的连通分量个数，kruscal最小生成树的操作。一些基于集合，有添加其它性质的集合操作。
例题：
TOJ2469 Friends
题目描述：有n个人，m对朋友关系，朋友关系对称且可传递，求有几个朋友圈。
分析：事实上是求一个无向图的连通分量数，并查集轻松搞定。
TOJ3294 Building Blcok
题目描述：一开始有n个Block，分别放置在地面上，有P个操作，操作有两种类型：
M a b如果a，b没有在一个Block组里，把包含a Block的Block组放在包含b的Block组之上。
C a 输出有多少个Block被压在了a之下。
分析：定义parent同并查集的一般操作，cnt表示有多少块Block[x]被压在x之下，size[x]表示以x为根的Block组一共有多少个Block.
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 30030
int par[MAX],cnt[MAX],size[MAX];
void init(int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
par[i]=i;
cnt[i]=0;
size[i]=1;
}
}
int find(int x)
{
if(x==par[x]) return x;
int tmp=par[x];
par[x]=find(par[x]);
cnt[x]+=cnt[tmp];
return par[x];
}
void Union(int a,int b,int pa,int pb)
{
par[pa]=pb;
cnt[pa]+=size[pb];
size[pb]+=size[pa];
}
int main()
{
int n,a,b,pa,pb;
char move[10];
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
init(MAX);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%s",move);
if(move[0]=='M')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
pa=find(a);
pb=find(b);
if(pa!=pb) Union(a,b,pa,pb);
}
else if(move[0]=='C')
{
scanf("%d",&a);
find(a);
printf("%d\n",cnt[a]);
}
}
}
return 0;
}
TOJ3732 Dragon Balls
题目描述：悟空在寻找龙珠，一共有n个龙珠，m条操作。操作有两种。
T a b 表示把a龙珠所在的城里的所有龙珠运到b所在的城里
Q a 表示对a的询问，要求输出x a所在的城， y a所在的城里一共有多少个龙珠， z a经过几次到达现在所在的城的。
分析：定义parent同并查集的一般操作，step表示经过几步到达现在所在的城，size表示该城里的龙珠数。
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 10010
int par[MAX],step[MAX],size[MAX];
void init(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
par[i]=i;
step[i]=0;
size[i]=1;
}
}
int find(int x)
{
if(x==par[x]) return x;
int tmp=par[x];
par[x]=find(tmp);
step[x]+=step[tmp];
return par[x];
}
void Union(int a,int b)
{
int pa=find(a);
int pb=find(b);
par[pa]=pb;
size[pb]+=size[pa];
step[pa]++;
}
int main()
{
int T,n,m,a,b,t=1;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
printf("Case %d:\n",t++);
scanf("%d%d",&n,&m);
init(n);
for(int i=0;i<m;i++)
{
char move;
getchar();
move=getchar();
if(move=='T')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
Union(a,b);
}
else
{
scanf("%d",&a);
int pa=find(a);
printf("%d %d %d\n",pa,size[pa],step[a]);
}
}
}
return 0;
}
种类相关并查集操作
题目中出现的元素分为一些种类，描述中会给出相关的描述信息，判断描述的正确性，即是否有悖于之前对这些元素种类的描述。一般可以增加一个kind属性来表示元素的种类。
例题：
POJ1182 食物链
题目大意：有A，B，C三种动物A吃B，B吃C，C吃A。有两种描述：
1 a b表示a与b是同类
2 a b 表示a吃b
判断有多少句假话（假话题目中有定义，主要是判断是否与之前的描述相悖）
分析：增加属性kind，kind[x]=0,表示与根同类，kind[x]=1,表示吃根，kind[x]=2表示被根吃。
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 50050
int par[MAX],rel[MAX];
void init(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
par[i]=i;
rel[i]=0;
}
}
int find(int x)
{
if(par[x]==x) return x;
int tmp=par[x];
par[x]=find(tmp);
rel[x]=(rel[tmp]+rel[x])%3;
return par[x];
}
void union_set(int x,int y,int px,int py,int d)
{
par[px]=py;
rel[px]=(rel[y]-rel[x]+2+d)%3;
}
int main()
{
int T,n,m,a,b,pa,pb,k,r;
scanf("%d%d",&n,&m);
{
init(n);
r=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
if(a>n||b>n) { r++; continue;}
if(k==2&&a==b) { r++; continue;}
pa=find(a);
pb=find(b);
if(pa==pb)
{
if((rel[b]+k+2)%3!=rel[a]) r++;
}
else union_set(a,b,pa,pb,k);
}
printf("%d\n",r);
}
}
TOJ1706 A Bug’s life
题目大意：给出n个点m条边（无向边），寻找是否有奇环。可用bfs或者dfs黑白染色，用并查集则是顶点种类为2.kind[x]=0表示与根同色，kind[x]=1表示与根异色。
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 2050
int par[MAX],rel[MAX];
void init(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
par[i]=i;
rel[i]=0;
}
}
int find(int x)
{
if(par[x]==x) return x;
int tmp=par[x];
par[x]=find(tmp);
rel[x]^=rel[tmp];
return par[x];
}
void union_set(int x,int y,int px,int py)
{
par[py]=px;
rel[py]=(rel[y]==rel[x]);
}
int main()
{
int T,n,m,a,b,pa,pb,r;
scanf("%d",&T);
for(int t=1;t<=T;t++)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
init(n);
r=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
if(!r)
{
pa=find(a);
pb=find(b);
if(pa==pb) r=(rel[a]==rel[b]);
else union_set(a,b,pa,pb);
}
}
printf("Scenario #%d:\n",t);
printf("%s bugs found!\n\n",r?"Suspicious":"No suspicious");
}
}
POJ1733 Parity Game
题目大意：有长度为n的0，1串，给出描述，a b even or a b odd表示a b区间1的个数的奇偶性，判断前多少条描述是成立的。ss
分析：设属性sum，区间a b的1的个数的奇偶性，与sum[b]和sum[a-1]的奇偶性相同，即若a b even表示sum[b]，sum[a-1]同奇偶，否则异奇偶。sum[x]=0,表示与根同奇偶，sum[x]=1表示与根异奇偶。由于该题区间范围过大，需要离散化。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 5010
int par[2*MAX],rel[2*MAX],ind[2*MAX];
struct node
{
int s,e;
bool Isodd;
}query[MAX];
map<int ,int>M;
void init(int n)
{
M.clear();
for(int i=0;i<=n;i++)
{
par[i]=i;
rel[i]=0;
}
}
int find(int x)
{
if(x==par[x]) return x;
int tmp=par[x];
par[x]=find(tmp);
rel[x]^=rel[tmp];
return par[x];
}
void union_set(int a,int b,int pa,int pb,int d)
{
par[pb]=pa;
rel[pb]=rel[b]^rel[a]^d;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
{
int a,b,pa,pb,i;
char str[10];
init(2*m);
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%s",&a,&b,str);
b++;
query[i].s=a;
query[i].e=b;
query[i].Isodd=(str[0]=='o');
ind[i<<1]=a;
ind[i<<1|1]=b;
}
sort(ind,ind+2*m);
for(i=0;i<2*m;i++)
M[ind[i]]=i+1;
for(i=0;i<m;i++)
{
a=M[query[i].s];
b=M[query[i].e];
pa=find(a);
pb=find(b);
if(pa==pb)
{
if((rel[a]^rel[b])!=query[i].Isodd) break;
}
else union_set(a,b,pa,pb,query[i].Isodd);
}
printf("%d\n",i);
}
return 0;
}
TOJ3413 How Many Answers Are Wrong
题目大意：上题的强化版给出任意的n个数，和m条描述，描述为 a b c即a到b的和c，判断有多少条描述是错误的。
分析：设属性sum，a b c表示sum[b]-sum[a-1]=c,sum[x]表示x与x所在集合的根的差。
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 200010
int par[MAX],rel[MAX];
void init(int n)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
par[i]=i;
rel[i]=0;
}
}
int find(int x)
{
if(x==par[x]) return x;
int tmp=par[x];
par[x]=find(tmp);
rel[x]+=rel[tmp];
return par[x];
}
void union_set(int a,int b,int pa,int pb,int d)
{
par[pb]=pa;
rel[pb]=rel[a]-rel[b]+d;
}
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
int a,b,pa,pb,d,r=0;
init(n);
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
a--;
pa=find(a);
pb=find(b);
if(pa==pb)
{
if(rel[b]-rel[a]!=d) r++;
}
else union_set(a,b,pa,pb,d);
}
printf("%d\n",r);
}
return 0;
}
用于优化
并查集更多地应用于dp或者贪心中的优化，用来降低复杂度。
例题：
TOJ1681 Supermarket
题目大意：有n件物品，每件物品有两个属性，p和d，表示在第d天之前将该物品卖出可以获得p的收益，假设一天至多能卖一件货物。问最多能获得的收益值。
分析：思想贪心。对货物按收益值进行排序，优先安排出售获益大的商品，对于每件商品可以把它安排在可以安排的最晚的那一天，即d之前的最晚的一天。如果直接暴力，则对于每件货物都需要从d天到第一天进行搜索，找出没有被安排的一天。时间复杂度O(nK),K是d的复杂度。考虑使用并查集优化，定义parent表示在d之前的可用时间（即题目中需要搜索出的时间）。对于每件货物设b=find(d),若b>0则该物品可安排，进行Union（b，b-1）的合并（b应该合并到b-1上），否则该货物无法安排
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 10010
#define MP make_pair
int par[MAX];
void init(int n)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
par[i]=i;
}
int find(int x)
{
if(x==par[x]) return x;
return par[x]=find(par[x]);
}
void union_set(int a,int b){ par[a]=b;}
vector<pair<int,int> > task;
int main()
{
int n,a,b,mx;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
task.clear();
mx=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
task.push_back(MP(a,b));
if(b>mx) mx=b;
}
sort(task.begin(),task.end());
init(mx);
int ans=0;
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
b=find(task[i].second);
if(b>0)
{
ans+=task[i].first;
union_set(b,b-1);
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
反向进行并查集操作
与并查集不同，给出一个图中原有的一些边，然后给出操作，操作不是向图中添加边，而是在已有的边上，将边删除。对于该种情况，需要把首先读入所有操作，把要求删除的边全部删除，再按照从后往前的顺序处理操作，这样删边操作又重新转化为了添边的操作。
例题：
ZOJ3261 Connections in Galaxy War
题目大意：有n个卫星，每个卫星有一个power值，初始时这些卫星之间有若干条边，有两种操作一种是删边，另一种是查询，查询卫星a，即要求找出与卫星a直接或间接相连的卫星中power值大于该卫星的拥有最大power值的卫星，若两卫星power值相同且最大输出编号小的那个。
分析：按上述方法，先删边，再反向处理操作，注意该题优先级的描述，再Union中要分类处理。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;
#define MAXN 10010
#define MAXM 50010
int query[MAXM][2];
int par[MAXN],power[MAXN];
int ans[MAXM];
set<int> g[MAXN];
void init(int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
par[i]=i;
g[i].clear();
scanf("%d",&power[i]);
}
}
int find(int x)
{
if(x==par[x]) return x;
return par[x]=find(par[x]);
}
void Union(int a,int b)
{
int pa=find(a);
int pb=find(b);
if(power[pa]<power[pb]) par[pa]=pb;
else if(power[pa]>power[pb]) par[pb]=pa;
else
{
if(pa<pb) par[pb]=pa;
else par[pa]=pb;
}
}
int main()
{
int n,m,q,b=0;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
if(b) printf("\n");
b=1;
init(n);
scanf("%d",&m);
int a,b;
char str[20];
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
g[a].insert(b);
}
scanf("%d",&q);
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf("%s",str);
if(str[0]=='d')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
query[i][0]=a; query[i][1]=b;
g[a].erase(g[a].find(b));
}
else
{
scanf("%d",&a);
query[i][0]=a; query[i][1]=-1;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(set<int>::iterator it=g[i].begin();it!=g[i].end();it++)
Union(i,*it);
}
int cnt=0;
for(int i=q-1;i>=0;i--)
{
if(query[i][1]==-1)
{
int tmp=find(query[i][0]);
if(power[tmp]==power[query[i][0]]) ans[cnt++]=-1;
else ans[cnt++]=tmp;
}
else Union(query[i][0],query[i][1]);
}
for(int i=cnt-1;i>=0;i--)
printf("%d\n",ans[i]);
}
}