POJ 1091 跳蚤（n元不定方程有解的判定+容斥原理）

假设卡片上的标号为A1,A2,..An,跳蚤跳对应号的次数分别为X 1,X 2,...X n,跳M个单位的次数为X n+1,有以下方程成立：

A1*X1+A2*X2+......+An* Xn+M*X n+1 =1。

要使以上方程有解，(A1,A2,A3,..,M)=1

先对M 进行质因数分解。

设p=(A1,A2,....An,M)

然后排除p不等于1的情况即可。

对于任意一个小于等于m的数x，其倍数的出现次数为(m/x),对于n张纸牌，有(m/x)^n

然后枚举m的质因子b1,b2,..bt

根据容斥原理，先sum+=(m/b1)^n+(m/b2)^n+....+(m/bt)^n

然后减去重叠的部分sum-=(m/(b1*b2))^n+(m/(b1*b3))^n+....+(m/(b t-1*bt))^n

依次递推下去。

最后sum=m^n-sum即可。

代码参考HIT《数论及应用》

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=64;
int bo[maxn],t;
void divide(int m)
{
    t=0;
    for(int i=2;i*i<=m;i++)
        if(m%i==0){
            bo[++t]=i;
            while(m%i==0) m/=i;
        }
    if(m!=1) bo[++t]=m;
}
LL quick_multi(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        ans*=a;
        b--;
    }
    return ans;
}
int n,m,a[maxn];
LL ans,temp;
void dfs(int b,int ct,int c)
{
    if(ct==c)
    {
        int x=m;
        for(int i=1;i<=c;i++)
            x/=a[i];
        temp+=quick_multi(x,n);
        return ;
    }
    for(int i=b+1;i<=t;i++){
        a[ct+1]=bo[i];
        dfs(i,ct+1,c);
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        divide(m);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=t;i++){
            temp=0;
            dfs(0,0,i);
            if(i&1)
                ans+=temp;
            else
                ans-=temp;
        }
        ans=quick_multi(m,n)-ans;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}