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连通图小结 A Summary for Connected Graph

Ⅰ.概念

• 强连通
  
  • 强连通：有向图中 (u,v) 存在 u→v, v→u 的两条路径，称 (u,v) 为强连通
  • 强连通图：有向图中任意两个顶点强连通
  • 强连通分量：有向图的极大强连通子图
• 弱连通
  
  • 弱连通：无向图中 (u,v) 存在 u−v 的路径，称 (u,v) 为弱连通
  • 弱连通图：无向图中任意两个顶点弱连通，（可以将忽略方向的有向图看作无向图）
  • [弱]连通分量：无向图的极大[弱]连通子图
• 割点与桥
  
  • 割点：无向图中点 u ，删去后连通分量数目增加（连通图则使得图不再连通），称 u 为割点
  • 桥：无向图中边 (u,v) ，删去后连通分量数目增加（连通图则使得图不再连通），称 (u,v) 为桥（割边）
• 点双连通
  
  • 点双连通：无向图中 (u,v) 存在至少两条“点不重复”的路径，称 (u,v) 为点双连通
    这个要求等价于任意两条边都在同一个简单环中，即内部无割点
  • 点双连通分量：无向图的极大点双连通子图。
  • 性质：
    
    • 无向图每条边恰好属于一个点双连通分量
    • 不同的点双连通分量之间可能会有公共点，最多只有一个且一定是割点
    • 任意割点都是至少两个不同点双连通分量的公共点
• 边双连通
  
  • 边双连通：无向图中 (u,v) 存在至少两条“边不重复”的路径，称 (u,v) 为边双连通
    这个要求低一点，只需要每条边都至少在一个简单环中，即所有的边都不是桥
  • 边双连通分量：无向图的极大边双连通子图。
  • 性质：
    
    • 除桥不属于任何边双连通分量外，其他每条边恰好属于一个边双连通分量
    • 把所有桥删除后，每个连通分量对应原图的一个边双连通分量

Ⅱ.连通图算法

• 连通分量 Connected Component
  求解连通分量只需要 dfs 或者 bfs 把图搜一遍就好了，当然并查集也是可以的。
  一般不爆栈的情况， dfs 好写适用性强

//Connected Components
vector<int> G[N];
int id[N], cc;

void dfs(int u) {
    id[u] = cc;
    for(int v : G[u]) {
        if(id[v]) continue;
        dfs(v);
    }
}

void findCC() {
    cc = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        if(id[i]) continue;
        ++cc;
        dfs(i);
    }
}

• 割点 Cut
  基于 dfs 时间戳的 Tarjan 算法
  dfn[u]:= u 的时间戳， low[u]:= u 及其后代能连回的最早的祖先的时间戳
  如果 low[v]≥dfn[u] ，即 v 及其所在的子树都没有后向边 (back edge) 连回u的祖先
  如果删去 u ，那么 u 的祖先与 v 及其所在的子树不连通，根据“连通”关系的传递性，整个图就不连通了

//Tarjan-cut
vector<int> G[N];
int dfn[N], low[N], cut[N], dfsNum;

void tarjan(int u, int f) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;
    int son = 0;
    for(int v : G[u]) {
        if(v == f) continue;
        if(!dfn[v]) {
            ++son;
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] >= dfn[u]) cut[u] = true;
        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    if(f < 0 && son == 1) cut[u] = false;
}

void init() {
    dfsNum = 0;
    memset(dfn, 0, sizeof dfn);
    memset(cut, false, sizeof cut);
    tarjan(root, -1);
}

• 桥 Bridge
  基于 dfs 时间戳的 Tarjan 算法
  dfn[u]:= u 的时间戳， low[u]:= u 及其后代能连回的最早的祖先的时间戳
  如果 low[v]>dfn[u] ，即 v 及其所在的子树只能连回 v 自己
  如果删去 (u,v) ，那么 u 与 v 及其所在的子树不连通，根据“连通”关系的传递性，整个图就不连通了

//Tarjan-bridge
vector<int> G[N];
vector<pair<int, int> > bridge;
int dfn[N], low[N], dfsNum;

void tarjan(int u, int f) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;
    for(int v : G[u]) {
        if(v == f) continue;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] > dfn[u]) bridge.push_back({u, v});
        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
}

void init() {
    dfsNum = 0;
    bridge.clear();
    memset(dfn, 0, sizeof dfn);
    tarjan(root, -1);
}

• 点双连通分量 Biconnected Component or Block
  基于 dfs 时间戳的 Tarjan 算法
  dfn[u]:= u 的时间戳， low[u]:= u 及其后代能连回的最早的祖先的时间戳

• 边双连通分量 Edge−biconnected Component
  基于 dfs 时间戳的 Tarjan 算法
  dfn[u]:= u 的时间戳， low[u]:= u 及其后代能连回的最早的祖先的时间戳
  边双连通缩点其实就是留下桥，把所有桥边构成了新图，新图是一棵树

//Tarjan-bcc
vector<int> G[N];
int dfn[N], low[N], in[N], id[N], bcc, dfsNum;
int stk[N], top;

void tarjan(int u, int f) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;
    stk[++top] = u;
    in[u] = true;
    for(int v : G[u]) {
        if(v == f) continue;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    if(low[u] == dfn[u]) {
        ++bcc;
        while(true) {
            int v = stk[top--];
            in[v] = false;
            id[v] = bcc;
            if(v == u) break;
        }
    }
}

void init() {
    bcc = dfsNum = 0;
    memset(dfn, 0, sizeof dfn);
    tarjan(root, -1);
}