递归到非递归的转换

递归到非递归的转换

 

一. 为什么要转换
  考虑函数的递归,因为第N次与第N+1次调用所采用的栈不能重用,可能会导致多次调用后,进程分配的栈空间耗尽.
  解决的方法之一就是用自己可控制的栈代替函数调用栈,从而实现递归到非递归的转换.(用户栈当然必须是可以重用的,否则也就没有意义).
  我们将会发现,实际上用户栈相比函数调用栈来说,可以非常小下面就以ackerman函数为例
 
二.ackerman函数
已知Ackerman函数akm(m,n)定义如下：
当m=0时:         akm(m,n) = n + 1;
当m!=0, n=0时:   akm(m,n) = akm(m-1, 1);
当m!=0, n!=0时:  akm(m,n) = akm(m-1, akm(m, n-1));
  
(1) 根据定义，写出它的递归求解算法；
(2) 利用栈，写出它的非递归求解算法。
【解答】
(1) 已知函数本身是递归定义的，所以可以用递归算法来解决：
 unsigned akm ( unsigned m, unsigned n ) {
   if ( m == 0 ) return n+1;      // m == 0
     else if ( n == 0 ) return akm ( m-1, 1 );    // m > 0, n == 0
       else return akm ( m-1, akm ( m, n-1 ) );    // m > 0, n > 0
     }

(2) 为了将递归算法改成非递归算法.
首先改写原来的递归算法，将递归语句从结构中独立出来：
 unsigned akm ( unsigned m, unsigned n ) {
   unsigned v;
    if ( m == 0 ) return n+1;      // m == 0
    if ( n == 0 ) return akm ( m-1, 1 );       // m > 0, n ==0
    v = akm ( m, n-1 ) );        // m > 0, n > 0
   return akm ( m-1, v );
 }
 
然后,就是递归转非递归的标准流程:
a. 从一个简单的实例,分析其递归调用树
b. 分析哪些元素需要放在栈中
c. 跟踪递归调用过程,分析栈的变化
d. 由实例->普遍,演绎出算法,这一过程也称作建模
我们将会发现,建模是最困难的.

下面,我们就以ack(2,1)为例,开始分析递归调用树,采用一个栈记忆每次递归调用时的实参值，每个结点两个域{vm, vn}。对以上实例，递归树以及栈的变化如下：
 

相应算法如下
#include
#include
using namespace std;
typedef struct node_t {
 unsigned int vm, vn;
}node, *pnode;

unsigned akm ( unsigned int m, unsigned int n ) {
 std::stack st; 
 pnode w, w1;
 unsigned int v;
 unsigned int vt;

 

//根节点进栈
 w = (node *) malloc (sizeof (node));
 w->vm = m; 
  w->vn = n;
  st.push (w);
 
 do {
  //计算akm(m-1, akm(m, n-1))
  while ( st.top( )->vm > 0 ) {            
     vt = w->vn;
     //计算akm(m, n-1), 直到akm(m,0)
     while ( st.top()->vn > 0 )    
     {
       w1 = (node *) malloc (sizeof (node));
       vt --;
       w1->vn = vt;
       w1->vm = w->vm;
       st.push( w1 );
     }

     //把akm(m, 0)转换为akm(m-1, 1),并计算
     w = st.top( ); 
     st.pop( );   
     w->vm--; 
     w->vn = 1; 
     st.push( w );
     vt = w->vn;
  }

  //计算akm( 0, akm( 1, * ) )        
  w = st.top(); 
  st.pop( ); 
  w->vn++; 
  //计算v = akm( 1, * )+1
  v = w->vn;

  //如果栈不为空,改栈顶为( m-1, v )
  if (  !st.empty( ) )     
  {
      w = st.top(); 
      st.pop( );
      w->vm--; 
      w->vn = v; 
      st.push( w );
  }
 } while ( !st.empty( ) );
 return v;
} 

int main()
{
 unsigned int rtn;
 rtn = akm(3,2);
 std::cout << rtn << std::endl;
 return 0;
}

 

三.小结

  主要难点在于最后的建模,怎样从一个或者几个实例,演绎出普适的数学模型,这是我做不到的,只有试图去理解,我想,勤能补拙只不过是一种安慰,真正创造性的工作,的确是聪明人的专利.另外一点感触就是,栈的应用可真是灵活啊!