《C算法》读书笔记 （3）：素数筛法

P58 3-5 厄拉多塞筛

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埃拉托色尼选筛法(the Sieve of Eratosthenes)简称埃氏筛法，是古希腊数学家埃拉托色尼提出的一种筛选法。 是针对自然数列中的自然数而实施的，用于求一定范围内的质数。步骤如下：
（1）先把1删除（现今数学界1既不是质数也不是合数）
（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去
（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去
（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去
（5）如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取

原程序在处理边界上有误，做了一定修改：

void EratosthenesPrime()
{
    init();
    for(int i = 2; i < N; ++ i)
    {
        if(b[i])
        {
            prime[prime_len ++] = i;
            for(int j = i; j < (N + i - 1) / i; ++ j)
                b[i * j] = 0, ++ step;
        }
    }
}

该算法的复杂度是 F(n)=n/2+n/3+n/5+... < H(n) < nln(n)
为了检验算法复杂度，引入了count计数值，并且与线性筛法做了对比

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100
#define CL(p, val) memset(p, val, sizeof(p))
int n, m;
bool b[N];
int prime[100000];
int prime_len;
int step;

void init()
{
    for(int i = 2; i < N; ++ i)
    {
        b[i] = 1;
    }
    prime_len = 0;
    step = 0;
}

void EratosthenesPrime()
{
    init();
    for(int i = 2; i < N; ++ i)
    {
        if(b[i])
        {
            prime[prime_len ++] = i;
            for(int j = i; j < (N + i - 1) / i; ++ j)
                b[i * j] = 0, ++ step;
        }
    }
    printf("%d %d\n", prime_len, step);
}

void cd_prime()     // 线性算法
{
    init();
    for(int i = 2; i < N; ++ i)
    {
        if(b[i])
            prime[prime_len ++] = i;
        for(int j = 0; j < prime_len; ++ j)
        {
            int k = prime[j] * i;
            ++ step;
            if(k >= N)
                break;
            b[k] = 0;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
    printf("%d %d\n", prime_len, step);
}

int main()
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);

    EratosthenesPrime();
    cd_prime();
    return 0;
}

线性筛法的优点是，每个待处理的自然数只被扫描到一次，几乎可以收敛在 O(n) 上。考虑到乘法所占指令时间较长，在测试时将count值加在prime[j]*i之后。
以下是N=100,1000,10000,100000,1000000时的结果

N	E筛法	线性筛法
100	102	139
1000	1409	1497
10000	16979	15466
100000	193076	157396
1000000	2122046	1591421

可以看到，随着N规模的扩大，线性筛法逐渐体现出复杂度上的优势；但原筛法 F(n) 相当接近线性筛法的复杂度，也不失为一种良好的算法。