关于二分搜索的一点思考
今晚看到算法引论关于二分搜索的相关问题，想起了当年看编程珠玑的“无处不在的二分搜索”那章，记得作者说过能完全写对二分搜索的程序员寥寥无几，当时自己也写了下，确实不容易写，主要的难点在于写对，大致的框架可能大家都非常熟悉，但是里面的下标怎么确定是正确的呢？不对的下标很有可能造成死循环。不过，算法引论所推崇的数学归纳法的思想还是很普适的，反应在程序上就是先写n=1的情况，再写归纳阶段的代码，这样的方法用在写二分搜索感觉很有效，例如书中最普通的二分搜索代码如下：
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int
BinarySearch(
int
* A,
int
l,
int
r,
int
z)
{
if
(l == r)
{
if
(A[l] == z)
return
l;
else
return
-1;
}
else
{
int
middle = (l + r + 1)/2;
if
(z < A[middle])
{
BinarySearch(A,l, middle-1,z);
}
else
{
BinarySearch(A,middle,r,z);
}
}
}
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这里对程序稍微做了点修改，但是大意是一样的，可以看到，程序书写的逻辑上，先处理n=1的情况，即l==r，这时候只有1个元素，对于1个元素的判断是trivial的，然后在else里面，算出middle并递归判断，这里是上取整，那么为什么要上取整？
要明白这个问题就是要理解，如果下取整会出现什么情况？死循环！让我们来验证下，假如某个时刻l=r-1,且A[l]<=z，这个时候就是死循环的时候，因为每次middle都会等于l（下取整）而A[l]<=z所以会走else那个分支，又继续递归l（此时middle是等于l的）和r，从而一直死循环下去。
仔细分析上面的情况不难发现，关键的地方在middle是下取整的情况，如果下取整会出现一个关键的问题就是l有可能等于middle，我们如果抓住这个问题去分析，就会很容易发现在else分支会出现死循环。下面用同样的方法分析下上取整，如果上取整的话，middle则可能会等于r，如果A[middle]>z，会直接导致r等于l，即在下次进入n=1的判断；如果A[middle]<=z，则同样会有middle等于r进入n=1的分支，这也证明了这个程序一定会在n=1的时候退出。其实在下取整和上取整发生不同的地方就是临界的位置，这也是容易造成死循环的时候。
通过以上分析，我们总结下如何快速判断一个二分搜索程序是否会出现死循环：
- 查看middle的选取是那种取整类型，是上取整还是下取整
- 根据类型，假定临界条件的发生，对上取整就是middle等于r了，对下取整就是middle等于l了
- 用临界的情况去检验if的两个分支，看看会不会出现循环调用，如果会则一定会有死循环，否则可大致判断程序是正确的
其实，编程珠玑中也介绍了程序验证学的方法，即assert，这个方法也是很好的一种方法，特别的是写短小程序的时候。
用这个方法，我发现图6.3中，二叉搜索的特殊下标问题中的程序是错误的，即middle的取法应该是下取整，书上是上取整，我用程序跑书的例子，果然华丽的堆栈溢出了，看来这种方法还是挺有作用的，不知道有人和我有同样的疑问吗，勘误上并没有说程序的问题。 （完）
【转2】
错误代码类似于下面的样子:
int search( int array[], int n, int v)
{
int left, right, middle;
left = 0, right = n;
while (left < right)
{
middle = (left + right) / 2;
if (array[middle] > v)
{
right = middle - 1;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle + 1;
}
else
{
return middle;
}
}
return -1;
}
int main()
{
int array[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 19};
int m = search(array, sizeof(array)/ sizeof(array[0]), 1);
printf("m = %d\n", m);
return 0;
}
循环的开始处,把循环写成如下所示，则遍历的序列区间是一个左闭右开的区间:[0，n)；
while (left < right)
{
//
循环体
}
while (left <= right)
{
//
循环体
}
if (array[middle] > v)
{
right = middle - 1;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle + 1;
}
else
{
return middle;
}
因此,这种错误的写法并不是在所有的情况下都会出错,有时还是可以找到正确的结果的.
这是一种典型的二分查找算法写错的情况,循环体是左闭右开区间,而循环体内部却是采用左闭右闭区间的算法进行操作.
下面给出的两种正确的算法,算法search是左闭右闭区间算法,而算法search2是左闭右开区间算法,可以对比一下差异.
{
int left, right, middle;
left = 0, right = n - 1;
while (left <= right)
{
middle = (left + right) / 2;
if (array[middle] > v)
{
right = middle - 1;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle + 1;
}
else
{
return middle;
}
}
return -1;
}
int search2( int array[], int n, int v)
{
int left, right, middle;
left = 0, right = n;
while (left < right)
{
middle = (left + right) / 2;
if (array[middle] > v)
{
right = middle;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle + 1;
}
else
{
return middle;
}
}
return -1;
}
下面再给出另一种典型的错误的二分查找算法,当查找的元素不在序列内时,它可能造成程序的死循环.
{
int left, right, middle;
left = 0, right = n - 1;
while (left <= right)
{
middle = (left + right) / 2;
if (array[middle] > v)
{
right = middle;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle;
}
else
{
return middle;
}
}
return -1;
}
从循环条件来看,这个算法的操作区间是左闭右闭区间的,因此当array[middle] > v时,v如果存在的话应该在[left, middle- 1]中,因此此时right应该是middle - 1,而不是middle;类似的,当array[middle] < v时,下一次操作的区间应该是[middle + 1, right]中.而当元素不存在这个序列中时,算法在一个错误的区间中循环,但是又不能终止循环,于是就造成了死循环.
因此,要将二分查找算法写对,其实很多人都大概知道思想,具体到编码的时候,就会被这些看似微小的地方搞糊涂.因此,需要注意这一点:
算法所操作的区间,是左闭右开区间,还是左闭右闭区间,这个区间,需要在循环初始化,循环体是否终止的判断中,以及每次修改left,right区间值这三个地方保持一致,否则就可能出错.
[原创]
#include
using namespace std;
#define ARRYLENGTH 10
int main(void)
{
int arr[ARRYLENGTH],i,j;
for(i=0;i
arr[i] = i+5;
int searchnum=6;
int l=0,m,h=ARRYLENGTH-1,p=-1;
while(l<=h && h
m=(l+h)/2;
if(arr[m]==searchnum){
p = m;
break;
}else if(arr[m]
l=m+1;
else
h=m-1;
}
cout<<"p="<<p<<endl;
return 0;
}