uva106 - Fermat vs. Pythagoras()

这道题暴力果断的不行啊，

n会到达10^2,如果暴力的话，复杂度怎么也得O(n*n).

所以我们压根就不能对a,b,c中的任何数暴力，

但这里有个公式，我也是做了这道题才知道的。

(r*r-s*s)^2+(2*r*s)^2 = (r*r+s*s)^2; 我们只要枚举r和s即可。

效率大大提高了，

下面给出一位大神的证明：

[解题方法]  
 该题可以归结为数论问题。  
 
 若是用穷举法生成 1000000 以内所有的勾股数，会超时，故需要考虑其他方法。如果方程有一个通解，那  
 么根据通解生成 x，y，z，肯定方便得多，有没有这样的通解公式呢，答案是肯定的，推导如下：  
 
 本题的要求是当 x，y，z ∈ N，给定一个数 n，找出所有的 x，y，z ≤ n，使得 x² + y² = z² 成立。  
 
 先假定 x，y，z 互质，若不互质，则可设 x = w * x0，y = w * y0，z = w * z0，将其转化为互  
 质的情形后讨论。由于 x，y，z 互质，故 x，y 中至少有一个是奇数。下面用反证法证明 x 和 y 中有  
 且只有一个奇数。假定 x，y 都为奇数，设：  
 
    x = 2 * a + 1  
    y = 2 * b + 1  
    x² + y² = (2 * a + 1)² + (2 * b + 1)² = 4(a² + b² + a + b) + 2 = z²  
 
 则 z² 是偶数，若 z² 为偶数，则 z 必为偶数，那么 z² 必能被 4 整除，与上式矛盾，因此 x，y 中  
 只有一个奇数。  
 
 假设 x 为奇数，y 为偶数，由于奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，和 z² 必为奇数，则 z 为奇数。  
 那么 z + x 和 z - x 都是偶数，不妨设 z + x = 2u，z - x = 2v（这是费马提到的一种方法），  
 解得：  
 
    z = u + v  
    x = u - v  
 
 而且由于 x，y，z 互质，则 u，v 也必定互质，若不互质，则可设 u = w * u0，v = w * v0，则  
 z 和 x 有大于 1 的公约数 w，与前提条件矛盾。给原方程两边同除以 4 得：  
 
 x² / 4 + y² / 4 = z² / 4  
 
 然后移项: (y / 2)² = (z / 2)² - (x / 2)²  
 
 右边是个平方差公式：  
 
 (z / 2)² - (x / 2)² = (z + x) / 2 * (z - x) / 2  
 
 然后把刚才的 u，v 代入上式：  
 
 (z + x) / 2 * (z - x) / 2 = (2 u / 2) * (2 v / 2) = u * v  
 
 也就是说 (y / 2)² = u * v，说明 u * v 是一个平方数，又因为 u，v 互质，所以 u 和 v 本身  
 都是平方数（为什么？a 和 b 互质，a * b 为完全平方数，设 a * b = u²，则由于(a，b) = 1，  
 所以 a = a * (a，b) = (a²，a * b) = (a²，u²) = (a，u)²，同理 b = (b，u)²）。  
 
 那么，设 u = a²，v = b²，则 a，b 同样也是一奇一偶，互质的两个数（为什么？因为 u 和 v 互质，  
 则必有一个奇数，又由于 y 为偶数，则 u 和 v 不能同为奇数，故必是一奇一偶。由于奇数的平方是奇数，  
 偶数的平方是偶数，则 a 和 b 也是一奇一偶，若 a 和 b 不互质，可推出 u 和 v 不互质，矛盾）。  
 
 从刚才的 (y / 2)² = u * v，代入 a，b 解出 (y / 2)² = a² * b²，y / 2 = a * b，y =   
 2 * a * b。y 解出，将 a，b 代入 x，z 得：  
 
 x = u - v = a² - b²  
 z = u + v = a² + b²  
 
 综上所述，可得到下式：  
 
 x = a² - b²， y = 2 * a * b， z = a² + b²，(a 与 b 互质，a > b，且一奇一偶)。  
 
 题目要求统计 (x，y，z) 三元组的数量时只统计 x，y 和 z 两两互质的的情况，这个问题用上面的  
 算法就可以解决了。但对于统计 p 的数量，题目并不限定三元组是两两互质的。上式不能生成所有的勾股数。  
 但所有非两两互质的 x0，y0，z0 都可由一组互质的 x，y，z 乘以系数得到。 

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define M 1000010
bool vis[M];
int gcd(int x, int y)
{
    if(y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main ()
{
    int n, a, b, c, ans1, ans2;
    
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ans1 = ans2 = 0;
        int len = (int)sqrt((double)n+0.5);
        for(int s = 1; s <= len; s++)
        for(int r = s+1; r <= len; r+=2)
        {
            if(gcd(r,s)!=1) continue;
            c = r*r+s*s;
            if(c>n) break;
            b = 2*r*s;
            a = r*r-s*s;
            ans1++;
            for(int i = 1; i*c<=n; i++)
            {
                vis[a*i] = vis[b*i] = vis[c*i] = 1;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) if(vis[i]==0)
        ans2++;
        printf("%d %d\n",ans1,ans2);
    }
    return 0;
}