2-SAT总结

【 2-SAT 问题】
现有一个由 N 个布尔值组成的序列 A ，给出一些限制关系，比如 A[x] AND A[y]=0 、 A[x] OR A[y] OR A[z]=1 等，要确定 A[0..N-1] 的值，使得其满足所有限制关系。这个称为 SAT 问题，特别的，若每种限制关系中最多只对两个元素进行限制，则称为 2-SAT 问题。

由于在 2-SAT 问题中，最多只对两个元素进行限制，所以可能的限制关系共有 11 种：
A[x]
NOT A[x]
A[x] AND A[y]
A[x] AND NOT A[y]
A[x] OR A[y]
A[x] OR NOT A[y]
NOT (A[x] AND A[y])
NOT (A[x] OR A[y])
A[x] XOR A[y]
NOT (A[x] XOR A[y])
A[x] XOR NOT A[y]
进一步， A[x] AND A[y] 相当于 (A[x]) AND (A[y]) （也就是可以拆分成 A[x] 与 A[y] 两个限制关系）， NOT(A[x] OR A[y]) 相当于 NOT A[x] AND NOT A[y] （也就是可以拆分成 NOT A[x] 与 NOT A[y] 两个限制关系）。因此，可能的限制关系最多只有 9 种。

在实际问题中， 2-SAT 问题在大多数时候表现成以下形式：有 N 对物品，每对物品中必须选取一个，也只能选取一个，并且它们之间存在某些限制关系（如某两个物品不能都选，某两个物品不能都不选，某两个物品必须且只能选一个，某个物品必选）等，这时，可以将每对物品当成一个布尔值（选取第一个物品相当于 0 ，选取第二个相当于 1 ），如果所有的限制关系最多只对两个物品进行限制，则它们都可以转化成 9 种基本限制关系，从而转化为 2-SAT 模型。

【建模】
其实 2-SAT 问题的建模是和实际问题非常相似的。
建立一个 2N 阶的有向图，其中的点分为 N 对，每对点表示布尔序列 A 的一个元素的 0 、 1 取值（以下将代表 A[i] 的 0 取值的点称为 i ，代表 A[i] 的 1 取值的点称为 i' ）。显然每对点必须且只能选取一个。然后，图中的边具有特定含义。若图中存在边 <i, j> ，则表示若选了 i 必须选 j 。可以发现，上面的 9 种限制关系中，后 7 种二元限制关系都可以用连边实现，比如 NOT(A[x] AND A[y]) 需要连两条边 <x, y'> 和 <y, x'> ， A[x] OR A[y] 需要连两条边 <x', y> 和 <y', x> 。而前两种一元关系，对于 A[x] （即 x 必选），可以通过连边 <x', x> 来实现，而 NOT A[x] （即 x 不能选），可以通过连边 <x, x'> 来实现。

【 O(NM) 算法：求字典序最小的解】
根据 2-SAT 建成的图中边的定义可以发现，若图中 i 到 j 有路径，则若 i 选，则 j 也要选；或者说，若 j 不选，则 i 也不能选；
因此得到一个很直观的算法：
（ 1 ）给每个点设置一个状态 V ， V=0 表示未确定， V=1 表示确定选取， V=2 表示确定不选取。称一个点是已确定的当且仅当其 V 值非 0 。设立两个队列 Q1 和 Q2 ，分别存放本次尝试选取的点的编号和尝试不选的点的编号。
（ 2 ）若图中所有的点均已确定，则找到一组解，结束，否则，将 Q1 、 Q2 清空，并任选一个未确定的点 i ，将 i 加入队列 Q1 ，将 i' 加入队列 Q2 ；
（ 3 ）找到 i 的所有后继。对于后继 j ，若 j 未确定，则将 j 加入队列 Q1 ；若 j' （这里的 j' 是指与 j 在同一对的另一个点）未确定，则将 j' 加入队列 Q2 ；
（ 4 ）遍历 Q2 中的每个点，找到该点的所有前趋（这里需要先建一个补图），若该前趋未确定，则将其加入队列 Q2 ；
（ 5 ）在（ 3 ）（ 4 ）步操作中，出现以下情况之一，则本次尝试失败，否则本次尝试成功：
<1> 某个已被加入队列 Q1 的点被加入队列 Q2 ；
<2> 某个已被加入队列 Q2 的点被加入队列 Q1;
<3> 某个 j 的状态为 2 ；
<4> 某个 i' 或 j' 的状态为 1 或某个 i' 或 j' 的前趋的状态为 1 ；
（ 6 ）若本次尝试成功，则将 Q1 中的所有点的状态改为 1 ，将 Q2 中所有点的状态改为 2 ，转（ 2 ），否则尝试点 i' ，若仍失败则问题无解。
该算法的时间复杂度为 O(NM) （最坏情况下要尝试所有的点，每次尝试要遍历所有的边），但是在多数情况下，远远达不到这个上界。
具体实现时，可以用一个数组 vst 来表示队列 Q1 和 Q2 。设立两个标志变量 i1 和 i2 （要求对于不同的 i ， i1 和 i2 均不同，这样可以避免每次尝试都要初始化一次，节省时间），若 vst[i]=i1 则表示 i 已被加入 Q1 ，若 vst[i]=i2 则表示 i 已被加入 Q2 。不过 Q1 和 Q2 仍然是要设立的，因为遍历（ BFS ）的时候需要队列，为了防止重复遍历，加入 Q1 （或 Q2 ）中的点的 vst 值必然不等于 i1 （或 i2 ）。中间一旦发生矛盾，立即中止尝试，宣告失败。

该算法虽然在多数情况下时间复杂度到不了 O(NM) ，但是综合性能仍然不如下面的 O(M) 算法。不过，该算法有一个很重要的用处：求字典序最小的解！
如果原图中的同一对点编号都是连续的（ 01 、 23 、 45…… ）则可以依次尝试第 0 对、第 1 对 …… 点，每对点中先尝试编号小的，若失败再尝试编号大的。这样一定能求出字典序最小的解（如果有解的话），因为一个点一旦被确定，则不可更改。
如果原图中的同一对点编号不连续（比如 03 、 25 、 14…… ）则按照该对点中编号小的点的编号递增顺序将每对点排序，然后依次扫描排序后的每对点，先尝试其编号小的点，若成功则将这个点选上，否则尝试编号大的点，若成功则选上，否则（都失败）无解。