素数性测试（Robin-Miller算法）
算法分类：
随机算法
算法原理：
输入：一个大于3的奇整数n和一个大于等于1的安全参数t（用于确定测试轮数）。
输出：返回n是否是素数（概率意义上的，一般误判概率小于((1/2))80)即可)。
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将n-1表示成2sr
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对i从1到t做循环做以下操作：
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选择一个随机整数a（2 ≤ a ≤ n−2）
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计算y ← ar bmod n
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如果y≠1并且y≠ n−1循环做下面的操作，否则转3：
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j ← 1
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当j ≤ s−1并且y ≠ n−1循环做下面操作，否则跳到（iv.）
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计算y ← y2 bmod n，如果y = 1返回“合数”，否则j ← j + 1
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如果y ≠ n−1则返回“合数”
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返回“素数”
#include <iostream>
using namespace std;
/*=====================================================
* Fermat定理：
* 如果n是素数，那么对于所有的a<>0(mod n)有
* a^(n-1) mod n = 1
*=====================================================
*/
// 输出a^m(mod n)
int expmod(int a, int m, int n) {
int c = 1;
while (m > 0) {
c = (c*c)%n;
if (m%2 == 1)
c = (c*a)%n;
m /= 2;
}
return c;
};
/*=====================================================
* 输入：正奇数>=5
* 输出：如果n是素数，则返回prime；否则返回composite
* 出错概率：
* 对于4~2000的所有合数，仅对341,561,645,1105,1387,1729
* 返回素数，此外，小于100,000的数中，仅有78个测试错误
* 最大的是93961 = 7*31*433
*=====================================================
*/
bool primeTest1(int n) {
if (expmod(2, n-1, n) == 1)
return true;
else
return false;
};
/*=====================================================
* Carmicheal数：
* 它对于相对于n互素的正整数a，满足Fermat定理
* Carmicheal数相当少，对于10^8内仅有255个。
* 当一个合数n对于底a满足Fermat定理时
* n被称为底a的伪素数，于是primeTest1在n是素数或者
* 是底2的伪素数时返回素数
*=====================================================
*/
/*=====================================================
* 改进方法：
* 在2~n-2之间随机地选择底，这产生了算法primeTest2
*=====================================================
*/
bool primeTest2(int n) {
// a是2~n-2之间的随机数
int a = rand()%(n-3) + 2;
if (expmod(a, n-1, n) == 1)
return true;
else
return false;
};
/*=====================================================
* 如果n不是Carmicheal数，则算法PTEST2将测出n是合数
* 的概率至少是1/2，换句话说primeTest2出错的概率最多
* 是1/2。于是，通过反复测试k次，出错的概率最多是2^(-k)
*=====================================================
*/
/*=====================================================
* 设n为大于5的奇数，写为n-1=(2^q)*m，则由费马定理，
* 序列a^m(mod n), a^(2m)(mod n), a^(4m)(mod n)
* ... a^((2^q)*m)(mod n) 必定以1结束，而且在1出现之前
* 的值必定是n-1，这是因为当n是素数时，x^2=1(mod n)
* 的唯一解是x=1或x=-1
*=====================================================
*/
// t为循环检测次数
bool primalityTest(int n, int t) {
if (n == 2 || n == 3)
return true;
if (n%2 == 0)
return false;
int q = 0, m = n - 1;
while (m%2 == 0) {
++ q;
m /= 2;
}
for (int i = 0; i < t; ++ i) {
int a = rand()%(n-2) + 2;
int x = expmod(a, m, n);
int j;
if (x == 1)
continue;
for (j = 0; j < q && x != n-1; ++ j) {
x = (x*x)%n;
}
if (j >= q)
return false;
}
return true;
};
int main()
{
while(1) {
int n;
scanf("%d",&n);
if(primalityTest(n,10))
printf("n is a prime\n");
else
printf("n is not a prime\n");
}
}
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
const int MAX = 4, N = 1000000;
long long PowerMod(long long a, long long b, long long k) {
long long ret = 1, f = a;
while (b) {
if (b & 1)
ret = ret * f % k;
f = f * f % k;
b >>= 1;
}
return ret;
}
bool MillerRabin(long long n) {
int i;
long long tmp;
srand(100);
for (i = 0; i < MAX; i++) {
tmp = rand() % (n - 1) + 1;
if (PowerMod(tmp, n - 1, n) != 1)
break;
}
return (i == MAX);
}
int main() {
long long n, i, j;
bool tag[N] = {1, 1, 0};
for (i = 2; i * i < N; i++) {
if (tag[i]) continue;
for (j = i; j * i < N; j++)
tag[j*i] = 1;
}
while (scanf("%lld", &n) == 1) {
if (n < N)
printf("%s\n", tag[n] ? "NO" : "YES");
else
printf("%s\n", ((n & 1) == 0) || !MillerRabin(n) ? "NO" : "YES");
}
return 0;
}