从两个有序数组的并集中寻找第k小元素

问题描述：

给定两个有序数组（从小到大），找到在合并数组中第K小的元素。假设无重复元素。

问题求解：

方法一：时间复杂度O(m+n)，空间复杂度O(m+n)
将两个数组进行合并，然后寻找第k小的元素。合并操作需要花费额外的O(m + n)空间。依次将当前较小的元素放到合并数组，总时间复杂度O(m+n)。

方法二：只需要O(k)的时间复杂度，不需要额外申请空间。

不需要合并数组，只依次遍历A，B数组，遍历到第K个小的元素则返回。

#include <iostream>
#include<limits.h>
#include<vector>
using namespace std;

int findKthSmall(vector<int> &a, vector<int> &b, int k)
{
    int aindex = 0, bindex = 0;
    int alen = a.size(), blen = b.size();
    //cout<<alen<<'\t'<<blen<<endl;
    if(alen + blen < k) return INT_MIN;
    while(aindex<alen && bindex<blen)
    {
        if(a[aindex] < b[bindex])
        {
            aindex++;
            //每次进行判断,若遍历到a时达到k,则返回a[aindex-1]
            if(aindex+bindex == k) return a[aindex-1];
        }
        else
        {
            bindex++;
            //每次进行判断,若遍历到b时达到k,则返回b[bindex-1]
            if(aindex+bindex == k) return b[bindex-1];
        }
    }
    while(aindex < alen)
    {
        aindex++;
        if(aindex+bindex == k) return a[aindex-1];
    }
    while(bindex < blen)
    {
        bindex++;
        if(aindex+bindex == k) return b[bindex-1];
    }
}


int main() {

    vector<int> a = {1,4,7};
    vector<int> b = {2,5};
    int kthsmall = findKthSmall(a, b, 5);
    cout<<kthsmall<<endl;
    return 0;
}

方法三：时间复杂度O(logk)！！！

上面的解法在时间和空间复杂度上都有了提升，并且仍然是线性时间算法。我们还能再做优化吗？答案是肯定的！！！

比较A[k/2]和B[k/2]，如果A[k/2]<B[k/2]那么A的前k/2个数一定都在前k-1小的数中，将A数组前k/2个数扔掉，反之扔掉B的前k/2个数。将k减小k/2。重复上述操作直到k=1。比较A和B的第一个数即可得到结果。时间复杂度O(logk)。

首先容易想到的方法是合并两个数组，这样复杂度为O(k)，那么答出这个以后，面试官会问你，还有更好的方法么？这个时候就要往O(logk)的思路去想，O(logk)就意味着需要用一种方法每次将k的规模减小一半，于是想到，每次要扔掉一个数组或两个数组中的k/2个数，于是想到去比较A[k/2]和B[k/2]，仔细思考比较结果，然后想到较小的那一方的前k/2个数一定都在前k-1小的数中， 所以可以扔掉。